2 Respuesta en frecuencia: qué le hace un filtro al sonido
2.1 La idea, en una frase
Golpea una copa de cristal y cantará siempre la misma nota; golpea una de plástico y apenas obtendrás un golpe sordo. La copa no “elige” esa nota: su forma y su material dejan vibrar con holgura unas pocas frecuencias —sus resonancias— y ahogan todas las demás. El cristal, rígido y de pocas pérdidas, sostiene esa vibración durante segundos; el plástico la disipa antes de que alcance a ser un tono. Cambia el cuerpo y cambia la nota.
Y no es solo la copa. Casi todo lo que se interpone entre una fuente de sonido y tu oído —el aire de una sala, la membrana de un altavoz, la carcasa de un micrófono, tu propio canal auditivo— hace lo mismo: realza unas frecuencias y atenúa otras. No existe el objeto acústicamente neutro. Cada cuerpo responde a la vibración a su manera, y esa manera es una firma tan personal —y tan reveladora— como una huella dactilar.
Piensa, más cerca, en la perilla de frecuencias bajas de un equipo de música. Al girarla, los tonos bajos suben o bajan de nivel mientras el resto se queda igual. Eso es un filtro: un dispositivo que sube o baja el nivel de un rango de frecuencias elegidas. Sube las frecuencias altas y ganas brillo; baja unos medios y quitas una resonancia molesta. Lo notable es que ese gesto tan intuitivo —“más frecuencias bajas”, “menos brillo”— esconde una idea profunda: que un sonido complejo puede pensarse como un haz de frecuencias independientes, cada una susceptible de ser reforzada o atenuada sin tocar a las demás. Esa independencia no es obvia ni gratuita; es una consecuencia de que el mundo acústico, en buena aproximación, es lineal, y es la que hace posible todo lo que sigue.
La respuesta en frecuencia es, sin más, el gráfico de ese comportamiento: para cada tono —desde los 20 Hz de un sub-bajo hasta los 20 kHz de un platillo— dice cuántos decibeles lo refuerza o lo atenúa. Es el retrato completo de lo que un sistema le hace al sonido, condensado en una sola curva. Si sabes leer ese gráfico, entiendes el 80 % de lo que hace un ecualizador, un crossover de altavoz o la corrección de una sala.
Pero un filtro hace algo más, y casi nadie lo mira: al mismo tiempo que cambia el nivel de cada frecuencia, cambia su tiempo de llegada. Y no puede ser de otro modo —modificar cuánto pasa de cada tono obliga físicamente a modificar cuándo pasa; son dos caras de una misma moneda, atadas por una necesidad matemática que la causalidad impone. Esas dos caras son la magnitud (cuánto sube o baja) y la fase (cuánto se adelanta o se retrasa), y aprender a mirarlas juntas —a no quedarse nunca con media historia— es de lo que trata este capítulo.
Idea claveIdea clave
Un filtro no “quita” ni “añade” sonido: reescala en amplitud y desplaza en tiempo cada componente frecuencial. Magnitud y fase son las dos caras de la misma operación.
Ahora, con precisión
Puesto en fórmulas, un filtro multiplica el espectro de la señal por un número complejo en cada frecuencia:
\[ Y(f) = H(f)\,X(f), \qquad H(f) = \lvert H(f)\rvert\;e^{\,j\phi(f)}, \]
donde:
- \(X(f)\) — espectro de la señal de entrada
- \(Y(f)\) — espectro de la señal de salida
- \(H(f)\) — respuesta en frecuencia del filtro
- \(\lvert H(f)\rvert\) — magnitud (módulo)
- \(\phi(f)\) — fase (argumento) [rad]
- \(f\) — frecuencia [Hz]
El módulo es la magnitud —el nivel, casi siempre en decibeles, \(20\log_{10}\lvert H(f)\rvert\)— y su ángulo, la fase. Y de la fase sale una tercera cantidad muy útil, el retardo de grupo \(\tau_g(f) = -\,d\phi/d\omega\), que es el tiempo real, en segundos, que el filtro le mete a cada banda.
Importante¿Quieres ir más a fondo? — ¿La fase puede adelantarse?
Sí, y ocurre a menudo. Un sistema puede tener fase positiva (phase lead) en una banda: el pico de la sinusoide de salida cae antes, en fase, que el de la entrada. Un paso-altos de 1.er orden arranca en \(+90°\); un shelf de frecuencias altas, un derivador o un all-pass hacen lo mismo en ciertos tramos. Así que “adelantar o retrasar” es literal.
Lo que la causalidad prohíbe no es la fase adelantada, sino que la salida empiece antes que la entrada: la respuesta al impulso cumple \(h(t)=0\) para \(t<0\). La clave es que una sinusoide en régimen permanente no tiene principio —es eterna—, así que adelantar su fase solo elige otro de sus picos periódicos, que ya estaban ahí. No se crea información antes de tiempo; por eso no hay conflicto.
El matiz fino: incluso el retardo de grupo \(\tau_g=-\,d\phi/d\omega\) puede ser negativo en bandas (cerca de resonancias o en el rechazo de un filtro), y la envolvente de una señal suave y predecible parece adelantarse. Es real y está demostrado en laboratorio, pero tampoco viola la causalidad: solo funciona con señales cuyo futuro se deduce de su pasado, y nunca adelanta un frente abrupto (un transitorio, el ataque de un golpe).
En una frase: la fase adelanta sin problema; lo que no adelanta es una novedad.
Como ejemplo concreto, la respuesta de un pasa-bajos Butterworth de 4.º orden con corte en 1 kHz —magnitud arriba, fase abajo:
Importante¿Quieres ir más a fondo? — La función de transferencia y por qué la fase es inevitable
Todo filtro lineal e invariante en el tiempo (LTI) queda descrito por su función de transferencia \(H(s)\), la transformada de Laplace de su respuesta al impulso \(h(t)\):
\[ H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{\sum_{k=0}^{M} b_k\, s^{k}}{\sum_{k=0}^{N} a_k\, s^{k}}, \qquad s = \sigma + j\omega . \]
donde:
- \(H(s)\) — función de transferencia
- \(Y(s),\ X(s)\) — transformadas de Laplace de la salida y la entrada
- \(b_k,\ a_k\) — coeficientes del numerador y del denominador
- \(M,\ N\) — grados del numerador y del denominador
- \(s\) — variable compleja de Laplace [1/s]
- \(\sigma\) — parte real (tasa de crecimiento/decaimiento) [1/s]
- \(\omega\) — frecuencia angular [rad/s]
La respuesta en frecuencia es \(H(s)\) evaluada sobre el eje imaginario, \(s = j\omega\):
\[ H(j\omega) = |H(j\omega)|\, e^{\,j\angle H(j\omega)} . \]
El módulo \(|H(j\omega)|\) es la curva de magnitud; el argumento \(\angle H(j\omega)\) es la fase. No son independientes. Para un sistema de fase mínima (todos sus ceros en el semiplano izquierdo) están ligados por la transformada de Hilbert:
\[ \angle H(\omega) = -\frac{1}{\pi}\, \mathrm{P.V.}\!\!\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\ln|H(\nu)|}{\nu - \omega}\, d\nu . \]
donde:
- \(\angle H(\omega)\) — fase a la frecuencia \(\omega\) [rad]
- \(|H(\nu)|\) — magnitud del sistema
- \(\nu\) — variable de integración (frecuencia angular) [rad/s]
- \(\omega\) — frecuencia angular [rad/s]
- \(\mathrm{P.V.}\) — valor principal de Cauchy de la integral
Esta es la razón profunda de por qué no puedes cambiar la magnitud sin afectar la fase en un filtro analógico o IIR de fase mínima: la ecuación anterior lo prohíbe. Escapar de ella exige un filtro FIR de fase lineal (simétrico), a costa de latencia.
2.2 El vocabulario: los tipos de filtro
Casi todo el ecualizado del mundo se hace con un puñado de formas básicas. Conviene tenerlas en la cabeza junto con su función de transferencia elemental (todas son cocientes de polinomios en \(s\) o \(z\); aquí, su papel):
| Tipo | Qué hace | Uso típico |
|---|---|---|
| Pasa-bajos (LP) | deja pasar por debajo de \(f_c\), atenúa arriba | crossover de frecuencias bajas, anti-aliasing |
| Pasa-altos (HP) | deja pasar por arriba de \(f_c\), atenúa abajo | proteger tweeters, quitar subgrave |
| Pasa-banda (BP) | deja pasar una banda alrededor de \(f_0\) | aislar un rango |
| Notch (rechaza-banda) | elimina una banda estrecha | matar una resonancia o realimentación |
| Peaking (campana) | realza/atenúa una banda de ancho ajustable (\(Q\)) | EQ paramétrico |
| Low-shelf / High-shelf | sube o baja todo por debajo/encima de \(f_0\) | balance tonal (frecuencias bajas/altas) |
| Paso-todo (all-pass) | deja la magnitud intacta y solo gira la fase | alinear fase en crossovers, retardo |
Elige el tipo —incluido el paso-todo—, ajusta sus parámetros y —para el pasa-bajos y el pasa-altos— el orden y la alineación (Butterworth, Linkwitz-Riley, Bessel, Chebyshev). Observa a la vez la magnitud y la fase, con la caída y el desfase que el filtro deja en la frecuencia de corte: verás que a igual orden la pendiente es la misma, pero la caída en \(f_c\) cambia con la alineación (−3 dB Butterworth, −6 dB Linkwitz-Riley…). Todo se calcula con los mismos coeficientes que alimentan el audio, así que las curvas son exactamente las que suenan:
2.3 Orden y Q: pendiente y resonancia
Dos parámetros gobiernan la forma. El orden \(n\) fija la pendiente de caída fuera de banda: cada orden añade 6 dB por octava (equivalentemente, 20 dB por década),
\[ \text{pendiente} \;=\; 6\,n \ \text{dB/oct} \;=\; 20\,n \ \text{dB/década}, \]
y todos coinciden en \(-3\) dB en \(f_c\) (para una alineación Butterworth):
| Orden \(n\) | Pendiente | Caída una octava por encima de \(f_c\) |
|---|---|---|
| 1 | 6 dB/oct | −6 dB |
| 2 | 12 dB/oct | −12 dB |
| 4 | 24 dB/oct | −24 dB |
| 8 | 48 dB/oct | −48 dB |
La Q (factor de calidad) controla lo abrupto de la transición y la resonancia en el corte: \(Q = 1/\sqrt2 \approx 0{,}707\) da la respuesta maximamente plana (Butterworth); por encima aparece un pico resonante que puede realzar varios decibeles justo antes de caer; por debajo, la caída empieza antes y es más suave. La pendiente por orden la puedes recorrer en el widget de tipos de filtro de más arriba; la resonancia de la Q, en el widget que sigue.
Por qué se llama factor de calidad
El nombre viene de la electrónica de radio, donde la Q medía la “calidad” de un circuito resonante (una bobina, un LC sintonizado). Su definición física es
\[ Q = 2\pi\,\frac{\text{energía almacenada}}{\text{energía disipada por ciclo}} = \frac{f_0}{\Delta f} = \frac{1}{2\zeta}, \]
donde:
- \(Q\) — factor de calidad (adimensional)
- \(f_0\) — frecuencia central (de resonancia) [Hz]
- \(\Delta f\) — ancho de banda a \(-3\) dB [Hz]
- \(\zeta\) — factor de amortiguamiento (adimensional)
Son la misma idea vista de tres formas: un Q alto significa que el resonador pierde poca energía por ciclo, así que tiene un pico estrecho (banda angosta) y “campanea” mucho tiempo —como un buen diapasón o una campana fina—; un Q bajo está muy amortiguado, con banda ancha, y se apaga enseguida. El repique dura del orden de \(Q/\pi\) ciclos.
Súbela y bájala: verás el pico estrecharse en frecuencia y, a la vez, el campaneo (la respuesta al impulso) durar más ciclos en el tiempo. Pulsa Golpear para oír cómo un Q alto suena a campana y un Q bajo, a golpe seco:
Importante¿Quieres ir más a fondo? — Q, amortiguamiento y el campaneo
Un resonador de 2.º orden tiene la función de transferencia
\[ H(s) = \frac{\omega_0^2}{s^2 + \dfrac{\omega_0}{Q}\,s + \omega_0^2}, \]
donde:
- \(H(s)\) — función de transferencia del resonador
- \(\omega_0\) — frecuencia angular de resonancia [rad/s]
- \(Q\) — factor de calidad (adimensional)
- \(s\) — variable compleja de Laplace [1/s]
con polos en \(s = -\zeta\omega_0 \pm j\omega_0\sqrt{1-\zeta^2}\) y \(\zeta = 1/(2Q)\). La parte real \(-\zeta\omega_0 = -\omega_0/(2Q)\) fija el decaimiento: la respuesta al impulso es \(h(t) \propto e^{-\omega_0 t/(2Q)}\sin(\omega_d t)\), que cae a \(1/e\) tras \(\approx Q/\pi\) ciclos —el campaneo del widget—. Cuanto mayor la Q, más cerca del eje imaginario están los polos (menos amortiguamiento) y más largo el repique: es el mismo par de polos que veremos en el plano \(z\) del capítulo 8, donde acercar los polos al círculo unidad es subir la Q.
2.4 Fase y retardo de grupo
Subir o bajar una banda tiene un precio que casi nadie mira: la fase gira, y con ella cambia el tiempo de llegada de cada frecuencia. El retardo de grupo
\[ \tau_g(f) = -\frac{d\phi(f)}{d\omega} \]
donde:
- \(\tau_g(f)\) — retardo de grupo [s]
- \(\phi(f)\) — fase [rad]
- \(\omega\) — frecuencia angular [rad/s]
- \(f\) — frecuencia [Hz]
mide ese retraso en segundos. En un filtro de fase mínima —todo IIR analógico o digital común— cada cambio de magnitud arrastra un cambio de fase inevitable (la ligadura de Hilbert de más arriba), y cerca de un corte pronunciado el retardo de grupo forma un “bulto”: unas frecuencias salen más tarde que otras y el transitorio se emborrona.
Ese giro de fase es la razón de que juntar dos altavoces con filtros distintos —un crossover— sea difícil: si sus fases no casan en la zona de cruce, las dos vías se cancelan en vez de sumar. Es el tema del capítulo 10.
El paso-todo: fase sin tocar el tono
Hay un filtro que parece inútil y es utilísimo: el paso-todo (all-pass). Su magnitud es plana —deja pasar todas las frecuencias con el mismo nivel, \(\lvert H\rvert = 1\)— y sin embargo gira la fase. No cambia el timbre en absoluto; solo reordena en el tiempo. Sirve justo para lo que un EQ no puede: alinear la fase de dos vías en un crossover, o compensar el retardo entre un woofer y un tweeter, sin tocar una sola perilla de tono. Un paso-todo de 1.er orden gira la fase \(180°\); uno de 2.º orden, \(360°\), y su Q controla lo abrupto del giro:
Importante¿Quieres ir más a fondo? — El paso-todo y por qué su magnitud es exactamente 1
El paso-todo de 2.º orden tiene el numerador que es el espejo del denominador (fórmulas de Bristow-Johnson):
\[ \begin{aligned} b_0 &= 1-\alpha, & b_1 &= -2\cos\omega_0, & b_2 &= 1+\alpha,\\ a_0 &= 1+\alpha, & a_1 &= -2\cos\omega_0, & a_2 &= 1-\alpha, \end{aligned} \qquad \alpha = \frac{\sin\omega_0}{2Q}. \]
donde:
- \(b_0,b_1,b_2\) — coeficientes del numerador
- \(a_0,a_1,a_2\) — coeficientes del denominador
- \(\alpha\) — parámetro auxiliar (fija el ancho de banda)
- \(\omega_0\) — frecuencia angular central normalizada [rad/muestra]
- \(Q\) — factor de calidad (adimensional)
Como \(H(z) = z^{-2}\,\dfrac{A(1/z)}{A(z)}\) con \(A\) el denominador, para \(z=e^{j\omega}\) el numerador y el denominador son conjugados, y por tanto \(\lvert H(e^{j\omega})\rvert = 1\) en toda frecuencia: la magnitud es exactamente plana. Sus polos están dentro del círculo unidad, pero sus ceros están fuera (en las posiciones recíprocas): es el ejemplo canónico de un sistema de fase no mínima, lo contrario del EQ del deep-dive anterior. Por eso puede mover la fase sin tocar la magnitud —algo que un filtro de fase mínima tiene prohibido por la ligadura de Hilbert—, y por eso es la herramienta con la que se corrige la fase de un crossover o se compensa el desfase entre transductores.
2.5 Escúchalo tú mismo
La teoría se siente distinta cuando la oyes. Mueve la frecuencia de corte, la Q y la ganancia, y observa cómo la curva y el sonido cambian a la vez:
Importante¿Quieres ir más a fondo? — Del dominio continuo al digital: la transformada bilineal
El biquad que suena en el widget es la versión discreta. Partimos de la función de transferencia digital de segundo orden:
\[ H(z) = \frac{b_0 + b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2}}{1 + a_1 z^{-1} + a_2 z^{-2}}, \]
donde:
- \(H(z)\) — función de transferencia digital
- \(z\) — variable de la transformada z (\(z=e^{j\omega}\) sobre el círculo unidad)
- \(b_0,b_1,b_2\) — coeficientes del numerador
- \(a_1,a_2\) — coeficientes del denominador
que en el dominio del tiempo es la ecuación en diferencias que realmente ejecuta el DSP:
\[ y[n] = b_0 x[n] + b_1 x[n-1] + b_2 x[n-2] - a_1 y[n-1] - a_2 y[n-2]. \]
donde:
- \(x[n]\) — muestra de entrada en el instante \(n\)
- \(y[n]\) — muestra de salida en el instante \(n\)
- \(n\) — índice de muestra (tiempo discreto)
- \(b_0,b_1,b_2,\ a_1,a_2\) — coeficientes del filtro
Los coeficientes de un filtro peaking (la campana de EQ) se obtienen del prototipo analógico vía la transformada bilineal \(s = \frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}\), con pre-warping de la frecuencia. Definiendo \(\omega_0 = 2\pi f_0/f_s\), \(\alpha = \sin\omega_0 / (2Q)\) y \(A = 10^{G/40}\) (fórmulas de Robert Bristow-Johnson):
\[ \begin{aligned} b_0 &= 1 + \alpha A, & b_1 &= -2\cos\omega_0, & b_2 &= 1 - \alpha A,\\ a_0 &= 1 + \alpha/A, & a_1 &= -2\cos\omega_0, & a_2 &= 1 - \alpha/A, \end{aligned} \]
donde:
- \(b_0,b_1,b_2,\ a_0,a_1,a_2\) — coeficientes del biquad
- \(\omega_0\) — frecuencia angular central normalizada [rad/muestra]
- \(\alpha\) — parámetro auxiliar (fija el ancho de banda)
- \(A\) — factor de ganancia (lineal)
- \(f_0\) — frecuencia central [Hz]
- \(f_s\) — frecuencia de muestreo [Hz]
- \(Q\) — factor de calidad (adimensional)
- \(G\) — ganancia de la campana [dB]
y se normaliza dividiendo todo por \(a_0\). Estos son exactamente los coeficientes que la Web Audio API calcula internamente cuando fijas type = "peaking"; por eso lo que ves dibujado coincide con lo que oyes.
Importante¿Quieres ir más a fondo? — Estabilidad
El filtro es estable si y solo si sus polos —las raíces de \(1 + a_1 z^{-1} + a_2 z^{-2}\)— están dentro del círculo unidad, \(|z_p| < 1\). Para el biquad esto equivale a las condiciones de Jury:
\[ |a_2| < 1, \qquad |a_1| < 1 + a_2 . \]
Con Q muy alta y frecuencias cercanas a Nyquist, \(a_2 \to 1\): el filtro se vuelve numéricamente frágil. Es la razón por la que en la práctica se limita la Q o se usan estructuras alternativas (SVF, forma traspuesta directa II) en aritmética de punto fijo.
2.6 Lo que sigue
Con la respuesta en frecuencia, su fase y su retardo de grupo entendidos, el siguiente capítulo aborda cómo sumar varias de estas respuestas sin destruir el sonido: los crossovers y el problema de la coherencia de fase entre vías.
En la prácticaEn la práctica
Cuando midas un sistema real con un analizador (REW, Smaart), estarás mirando exactamente \(H(j\omega)\) —magnitud y fase— pero contaminada por el ruido y la reflexión de la sala. Separar el filtro del recinto es el tema de la Parte II.