15 Modos de sala: por qué las frecuencias bajas suenan distinto en cada asiento
15.1 La idea, en una frase
Pon una nota de frecuencia baja sostenida en una sala pequeña y camina despacio de una pared a la otra. No oirás un bajo parejo que te acompaña: oirás zonas donde retumba hasta hacer vibrar el pecho y, un par de pasos más allá, un hueco casi mudo donde esa misma nota se desvanece. Nada ha cambiado en el altavoz ni en la señal. Lo que ha cambiado es dónde estás parado dentro de un patrón que la sala impone sobre el aire. En las frecuencias altas ese patrón sería tan fino que el oído lo promedia sin darse cuenta; en las frecuencias bajas, con longitudes de onda de metros, el patrón tiene el tamaño de los muebles y de tu propia cabeza, y por eso lo sientes.
Detrás de esto hay un hecho físico tan general que reaparece en una cuerda de guitarra, en un tubo de órgano y en el resonar de una copa: cualquier medio confinado tiene frecuencias que le son propias. Cuando encierras el aire entre paredes, las ondas que rebotan de ida y vuelta solo sobreviven —en vez de anularse a sí mismas— si su ir y venir encaja exactamente en las dimensiones del recinto. A esas frecuencias privilegiadas la energía deja de viajar y se queda quieta, oscilando en su sitio: es una onda estacionaria, con puntos donde la presión se refuerza al máximo (antinodos) y puntos donde dos ondas opuestas se cancelan siempre a cero (nodos). Por debajo de cierta frecuencia, la sala abandona su papel de espacio neutro y se convierte en un instrumento con sus propias notas resonantes: sus modos. Que un asiento tenga frecuencias bajas y el de al lado no es, literalmente, cuestión de haber caído en un antinodo o en un nodo.
Hay algo casi inquietante en ello. El altavoz cree estar reproduciendo música; la sala tiene su propia opinión y solo deja pasar limpio lo que coincide con sus frecuencias favoritas, realzando unas notas y comiéndose otras. Y esa opinión no es negociable con más potencia: está escrita en la geometría misma del recinto. Los modos dependen solo de las dimensiones del recinto —no del material, ni del nivel, ni de la calidad del equipo—. Los más fuertes, los axiales (entre un par de paredes separadas una distancia \(L\)), caen en múltiplos de
\[ f = \frac{c}{2L}, \]
donde:
- \(f\) — frecuencia del modo axial (la fundamental y sus múltiplos enteros) [Hz]
- \(c\) — velocidad del sonido [m/s]
- \(L\) — distancia entre el par de paredes enfrentadas [m]
así que una pared de 5 m resuena a 34, 69, 103 Hz… En una sala pequeña, en la banda de frecuencias bajas, hay pocos modos y muy separados: refuerzan unas notas y se comen otras, y de ahí la “coloración” de las frecuencias bajas. Solo a partir de la frecuencia de Schroeder los modos se solapan tanto que el campo se vuelve difuso y uniforme.
Idea claveIdea clave
En frecuencias bajas, la sala no reproduce: impone su propia respuesta. Los modos son inevitables; el diseño consiste en elegir dimensiones que los repartan bien y en amortiguarlos (trampas de frecuencias bajas), no en pretender que no existan.
Explóralo. Elige un modo con los deslizadores y mira su patrón de presión (rojo = antinodo, azul = antinodo opuesto, blanco = nodo). Haz clic en el mapa para mover al oyente y, con el sonido activado, escucha cómo las frecuencias bajas se apagan en los nodos:
Fíjate en el modo por defecto (1,1,0): el centro de la sala es un nodo — el peor sitio para juzgar las frecuencias bajas. En el espectro de la derecha verás que abajo los modos están sueltos (axiales, en rojo, los más fuertes) y se van amontonando hacia la frecuencia de Schroeder. Cambia las dimensiones: proporciones malas (una sala cúbica) apilan modos en las mismas frecuencias y empeoran todo.
15.2 El patrón de cada modo
Cada modo \((n_x, n_y, n_z)\) tiene un patrón de presión fijo, \(\cos(n_x\pi x/L_x)\cos(n_y\pi y/L_y)\cos(n_z\pi z/L_z)\): tantos semiciclos en cada eje como indica su índice. Rojo y azul son antinodos de signo opuesto (máxima presión); el blanco, los nodos (presión nula, donde ese modo se apaga):
Según cuántos índices sean distintos de cero, el modo pertenece a una de tres familias, con energías —y abundancia— muy distintas:
| Familia | Índices \(\neq 0\) | Entre… | Energía |
|---|---|---|---|
| Axial | 1 | un par de paredes | la más alta (dominante en frecuencias bajas) |
| Tangencial | 2 | cuatro paredes (un plano) | ~½ de la axial |
| Oblicuo | 3 | las seis paredes | la más débil |
Importante¿Quieres ir más a fondo? — La frecuencia de Schroeder
La transición entre “pocos modos resonantes” y “campo difuso estadístico” ocurre donde los modos empiezan a solaparse (tres modos por ancho de banda de resonancia). Schroeder mostró que eso sucede alrededor de \[ f_s \approx 2000\sqrt{\frac{T_{60}}{V}}\quad[\text{Hz}], \]
donde:
- \(f_s\) — frecuencia de Schroeder [Hz]
- \(T_{60}\) — tiempo de reverberación [s]
- \(V\) — volumen de la sala [m³]
Así lo estableció Schroeder [1]. Por debajo de \(f_s\) (la línea del widget) dominan los modos individuales y tiene sentido hablar de nodos y antinodos; por encima, el enfoque estadístico (reverberación, capítulo siguiente) es el correcto.
Importante¿Quieres ir más a fondo? — Proporciones y control
Como los modos axiales dominan, elegir proporciones \(L_x:L_y:L_z\) que no sean múltiplos entre sí evita que varios modos coincidan en la misma frecuencia (un pico enorme) o dejen huecos grandes; de ahí las razones recomendadas de Bolt, Louden o la IEC. Pero repartir no es amortiguar: para bajar la \(Q\) de los modos —que decaen lentamente y “arrastran” las frecuencias bajas— hace falta absorción a baja frecuencia (trampas de frecuencias bajas, resonadores de Helmholtz, paneles de membrana), el tema del capítulo de reverberación y difusión [1], [2].
15.3 Dónde caen los modos
La frecuencia de cada modo sale de las tres dimensiones combinadas —es la norma del vector de índices, escalada por \(c/2\)—:
\[ f_{n_x n_y n_z} = \frac{c}{2}\sqrt{\left(\frac{n_x}{L_x}\right)^2+\left(\frac{n_y}{L_y}\right)^2+\left(\frac{n_z}{L_z}\right)^2}. \]
donde:
- \(f_{n_x n_y n_z}\) — frecuencia propia del modo \((n_x,n_y,n_z)\) [Hz]
- \(c\) — velocidad del sonido [m/s]
- \(n_x,\ n_y,\ n_z\) — índices modales de cada eje (enteros \(\geq 0\))
- \(L_x,\ L_y,\ L_z\) — dimensiones de la sala (largo, ancho, alto) [m]
En frecuencias bajas hay poquísimos modos y muy separados; su número por debajo de \(f\) crece como \(N(f)\approx \tfrac{4\pi}{3}V(f/c)^3\), de modo que la densidad modal sube como \(f^2\). Cuando tres modos caben dentro de un ancho de resonancia, dejan de oírse por separado: esa es la frecuencia de Schroeder
\[ f_s \approx 2000\sqrt{\frac{T_{60}}{V}}\quad[\text{Hz}], \]
donde:
- \(f_s\) — frecuencia de Schroeder [Hz]
- \(T_{60}\) — tiempo de reverberación [s]
- \(V\) — volumen de la sala [m³]
la frontera entre “sala modal” (abajo) y “campo difuso” (arriba). Aquí, todos los modos de una sala de \(5\times4\times2{,}7\) m: sueltos abajo, amontonándose hacia Schroeder:
15.4 Proporciones: cómo se reparten
Como los modos dependen de las dimensiones, unas proporciones malas los apilan en las mismas frecuencias (picos enormes, huecos entre medio). Una sala cúbica es el peor caso: sus tres ejes son iguales, así que los axiales coinciden y se triplican. Una razón bien elegida los reparte:
Por eso existen razones dimensionales recomendadas, que evitan coincidencias y huecos:
| Razón (alto : ancho : largo) | Fuente |
|---|---|
| 1 : 1,14 : 1,39 | Louden (óptima) |
| 1 : 1,4 : 1,9 | Bolt (zona favorable) |
| 1 : 1,6 : 2,33 | IEC / EBU (salas de escucha) |
| 1 : 1 : 1 (cúbica) | a evitar — degeneración máxima |
Pero repartir no es amortiguar: para bajar la \(Q\) de los modos hace falta absorción a baja frecuencia (trampas de frecuencias bajas), el tema del capítulo siguiente.
15.5 Por qué las frecuencias bajas cambian con el asiento
Todo lo anterior culmina en el problema práctico: en la región modal, cada asiento oye una respuesta de frecuencias bajas distinta, porque está en el antinodo de unos modos y en el nodo de otros. Sumando la contribución de cada modo (con un amortiguamiento realista) en tres posiciones de la misma sala:
15.6 Por qué esto conecta con todo lo anterior
Un modo no es más que suma (capítulo 3) llevada al extremo: la onda directa y sus infinitas reflexiones en las paredes se suman, y solo sobreviven las frecuencias que “caben” un número entero de veces entre las paredes. Y la respuesta de la sala en un punto —picos en los antinodos, valles en los nodos— es, otra vez, una respuesta en frecuencia (capítulo 2), esta vez impuesta por la geometría.
Importante¿Quieres ir más a fondo? — Los modos como autovalores de la ecuación de onda
En una sala rectangular de dimensiones \(L_x, L_y, L_z\) con paredes rígidas, la ecuación de onda con condiciones de contorno de Neumann (velocidad normal nula) es un problema de autovalores. Sus soluciones son separables [1], [3]: \[ p_{n_x n_y n_z}(x,y,z) = \cos\!\frac{n_x\pi x}{L_x}\,\cos\!\frac{n_y\pi y}{L_y}\,\cos\!\frac{n_z\pi z}{L_z}, \]
donde:
- \(p_{n_x n_y n_z}\) — patrón de presión del modo \((n_x,n_y,n_z)\) (adimensional, normalizado)
- \(x,\ y,\ z\) — coordenadas dentro de la sala [m]
- \(n_x,\ n_y,\ n_z\) — índices modales de cada eje (enteros \(\geq 0\))
- \(L_x,\ L_y,\ L_z\) — dimensiones de la sala [m]
con frecuencias propias \[ f_{n_x n_y n_z} = \frac{c}{2}\sqrt{\left(\frac{n_x}{L_x}\right)^2+\left(\frac{n_y}{L_y}\right)^2+\left(\frac{n_z}{L_z}\right)^2}, \qquad n_i \in \{0,1,2,\dots\}. \]
donde:
- \(f_{n_x n_y n_z}\) — frecuencia propia del modo \((n_x,n_y,n_z)\) [Hz]
- \(c\) — velocidad del sonido [m/s]
- \(n_i\) — índice modal del eje \(i\) (entero \(\geq 0\))
Los patrones \(\cos(\cdot)\) son exactamente los que dibuja el widget. Según cuántos índices sean no nulos, el modo es axial (1: entre un par de paredes, el más energético), tangencial (2) u oblicuo (3, el más débil).
Importante¿Quieres ir más a fondo? — Densidad modal
El número de modos por debajo de una frecuencia \(f\) crece como el volumen de un octante de elipsoide en el espacio \((n_x,n_y,n_z)\), dando la fórmula de Rayleigh-Weyl \[ N(f) \approx \frac{4\pi}{3}V\left(\frac{f}{c}\right)^3 + \frac{\pi}{4}S\left(\frac{f}{c}\right)^2 + \dots, \]
donde:
- \(N(f)\) — número de modos con frecuencia propia por debajo de \(f\) (adimensional)
- \(f\) — frecuencia [Hz]
- \(V\) — volumen de la sala [m³]
- \(S\) — superficie total de las paredes [m²]
- \(c\) — velocidad del sonido [m/s]
de modo que la densidad modal crece como \(dN/df \propto f^2\). En frecuencias bajas hay poquísimos modos (separados, audibles individualmente); en frecuencias altas, millones (indistinguibles). Ese crecimiento es la raíz del problema: abajo la sala es un puñado de resonancias sueltas.
15.7 Lecturas adicionales
15.8 Ejercicios
- En una sala de \(5\times4\times2{,}7\) m, calcula los tres primeros modos axiales y compáralos con el widget. ¿Cuál es el de frecuencia más baja y entre qué paredes ocurre?
- Demuestra que el centro geométrico de la sala es un nodo de todos los modos con algún índice impar, y explica por qué es mal sitio para escuchar frecuencias bajas.
- Estima la frecuencia de Schroeder de esa sala con \(T_{60}=0{,}5\) s. ¿Qué fracción de la banda de 20–200 Hz cae en la región “modal”?