18 Medición: la función de transferencia de doble canal

18.1 La idea, en una frase

Todo instrumento de medida es, en el fondo, una manera de hacerle una pregunta al mundo y aceptar la respuesta aunque no nos guste. Aquí la pregunta es siempre la misma: ¿qué le hace este sistema al sonido que le entrego? No basta con escucharlo —el oído se acostumbra, se adapta, rellena lo que falta y perdona lo que sobra—; hay que ponerle números, separar lo que de verdad ocurre de lo que creemos oír. Un sistema de sonido no es más que una caja que convierte una señal en otra, y medir es abrir esa caja sin desarmarla: comparar lo que sale con lo que entró y leer, en esa comparación, toda su física. De ahí la vieja regla del oficio, que aquí conviene tomarse al pie de la letra: no se puede optimizar lo que no se mide.

Todo el capítulo cabe en un diagrama. Un sistema —un altavoz, una sala, un procesador— es una caja \(H\) que toma una entrada \(X\) y entrega una salida \(Y\):

\[ X(f) \;\longrightarrow\; \boxed{\,H(f)\,} \;\longrightarrow\; Y(f). \]

Si el sistema es lineal e invariante en el tiempo (LTI), esa caja lo describe por completo, y la relación entrada–salida es una simple multiplicación en frecuencia (capítulos 2 y 5):

\[ Y(f) = H(f)\,X(f). \]

donde:

\(X(f)\) — espectro de la entrada
\(Y(f)\) — espectro de la salida
\(H(f)\) — función de transferencia del sistema (la “caja”)
\(f\) — frecuencia [Hz]

Medir es despejar la caja. Si puedes ver a la vez la entrada y la salida, entonces

\[ H(f) = \frac{Y(f)}{X(f)}. \]

Eso es, en una fórmula, lo que hace un analizador de doble canal. (En la práctica, con ruido de por medio, no se dividen los espectros crudos sino que se usa \(\hat H = S_{xy}/S_{xx}\) —lo veremos en un momento—.) Juega con la caja: elige qué hace \(H\) y mira —y escucha— cómo transforma la señal:

Figura 18.1: El sistema: X → H → Y — animación interactiva.

¿Quieres ir más a fondo? — ¿Por qué en frecuencia es multiplicar y en el tiempo no?

En el tiempo, esa misma relación entrada–salida es una convolución (capítulo 5):

\[ y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)\,x(t-\tau)\,d\tau, \]

donde cada valor de la salida es una mezcla ponderada de todo el pasado de la entrada, embarrado por la respuesta al impulso \(h\). Es una operación global y acoplada: para conocer \(y\) en un instante hay que integrar sobre toda la señal.

Lo que la vuelve trivial en frecuencia es que las senoides son las autofunciones de todo sistema LTI. Al entrar un tono puro \(e^{\,j\omega t}\),

\[ y(t)=\int h(\tau)\,e^{\,j\omega(t-\tau)}\,d\tau = e^{\,j\omega t}\underbrace{\int h(\tau)\,e^{-j\omega\tau}\,d\tau}_{H(j\omega)} = H(j\omega)\,e^{\,j\omega t}. \]

La integral se separa y deja una constante \(H(j\omega)\): sale la misma frecuencia, solo escalada y desfasada. Un LTI no puede crear frecuencias nuevas (por la linealidad) ni depende de cuándo llega la señal (por la invariancia en el tiempo); por eso \(e^{\,j\omega t}\) es una autofunción y \(H(j\omega)\), su autovalor.

(¿Autofunción, autovalor? Igual que una matriz solo estira a sus autovectores por un número —su autovalor— sin rotarlos, un sistema LTI solo escala y desfasa cada senoide por su \(H(j\omega)\), sin deformarla: es la única señal que lo atraviesa sin cambiar de forma. El módulo \(|H(j\omega)|\) es la ganancia; el ángulo \(\angle H(j\omega)\), el desfase.)

La consecuencia es la clave: si descompones la señal en senoides (Fourier), cada una atraviesa el sistema sola, multiplicada por su propio \(H(f)\), sin mezclarse con las demás. En esa base el sistema es diagonal, y la convolución —que acopla todos los instantes— se vuelve una multiplicación independiente por frecuencia:

\[ \underbrace{y(t) = (h * x)(t)}_{\text{convolución en el tiempo}} \qquad\xrightarrow{\ \ \text{Fourier}\ \ }\qquad \underbrace{Y(f) = H(f)\,X(f)}_{\text{multiplicación en frecuencia}} . \]

La transformada de Fourier es, precisamente, el cambio de base que diagonaliza a todos los sistemas LTI a la vez —comparten las mismas autofunciones; ese es el milagro—.

Para alinear un sistema —ecualizar, ajustar retardos, sumar vías— hace falta ver qué le hace de verdad al sonido, y eso se consigue con un analizador de doble canal (Smaart, SIM, REW). La idea es tan simple como poderosa: se toman dos señales a la vez, la de referencia (lo que enviamos) y la medida por un micrófono (lo que llega), y se dividen una por otra. Lo que sobrevive a esa división es la función de transferencia: la huella limpia de cuánto cambió cada frecuencia en magnitud y en fase, con la señal original ya descontada. No importa qué mandamos —importa qué le pasó por el camino.

Esa es la belleza del método: como el analizador guarda la referencia, puedes medir con música o ruido en lugar de un tono de prueba, e incluso durante un concierto, sin silenciar la sala. Y hay un tercer dato, el más infravalorado de todos: la coherencia. La magnitud y la fase te dicen qué hace el sistema; la coherencia te dice cuánto fiarte de esa medida en cada frecuencia —es la conciencia del analizador, la parte que admite lo que no sabe—. Medir sin mirarla es confundir el ruido con la señal, y ecualizar fantasmas.

Así se conecta en la práctica — es el modelo físico clásico del SIM de Meyer Sound. La señal (música o ruido) se toma en tres puntos de acceso: (A) la entrada al procesador, (B) su salida —lo que recibe el altavoz— y (C) el micrófono en la sala. Comparando dos puntos a la vez, el analizador aísla cada eslabón de la cadena: B÷A es el ecualizador (la corrección), C÷B es el altavoz con la sala (el objeto de medición), y C÷A es el resultante, lo que de verdad oye el público. La lógica de toda la corrección está en ese triángulo: ajustar el EQ (B÷A) hasta que compense lo que el objeto (C÷B) deforma, vigilando el resultante (C÷A):

Figura 18.2: El modelo físico de una medición: tres puntos de acceso (A, B, C) y sus tres funciones de transferencia — basado en el SIM System II de Meyer Sound.

Idea clave

La magnitud y la fase te dicen qué hace el sistema; la coherencia te dice dónde creerte esa magnitud y esa fase. Sin mirar la coherencia, estás ecualizando ruido.

Explora una medición. El widget mide un altavoz (pasa-banda) con una reflexión y ruido. Baja la relación señal/ruido y verás la coherencia hundirse y la traza volverse errática; sube los promedios y se limpia. Fíjate en que la reflexión peina la magnitud y hunde la coherencia justo en sus nulos — no es un defecto del altavoz, es la sala:

Figura 18.3: Medición por función de transferencia — animación interactiva.

Dos hábitos que el widget enseña: primero encuentra el retardo del sistema y compénsalo (así la fase se vuelve legible en vez de girar sin fin), y no ecualices donde la coherencia es baja —en las frecuencias bajas con poca señal, en los nulos de una reflexión, o con ruido de fondo— porque ahí la medida no es real.

Ese primer hábito —encontrar el retardo— vive en la respuesta al impulso, la otra cara de la función de transferencia (es su IFFT). Ahí cada llegada aparece como un impulso a su tiempo y su amplitud: el directo es el primer pico —lo que busca el delay finder— y las reflexiones (u otras fuentes) son los que llegan después. Muévelos y verás cómo esas llegadas peinan la magnitud, la misma suma del capítulo 3 vista en el tiempo:

Figura 18.4: Respuesta al impulso: llegadas — animación interactiva.

¿Quieres ir más a fondo? — La estimación de la función de transferencia

Con \(x(t)\) la referencia e \(y(t)\) la medida, la función de transferencia se estima a partir de los espectros de potencia. El estimador \(H_1\), óptimo cuando el ruido está en la salida, es [1] \[ \hat H(f) = \frac{S_{xy}(f)}{S_{xx}(f)}, \]

donde:

\(\hat H(f)\) — función de transferencia estimada (adimensional)
\(S_{xy}(f)\) — espectro cruzado entre la referencia \(x\) y la medida \(y\)
\(S_{xx}(f)\) — auto-espectro de la referencia
\(N\) — número de bloques promediados (índice)
\(f\) — frecuencia [Hz]

\(|\hat H|\) es la magnitud y \(\arg\hat H\) la fase que ves en el widget.

¿Quieres ir más a fondo? — Resolución, retardo y ventanas

La medición hereda los compromisos del capítulo de Fourier: la resolución en frecuencia es \(\Delta f = f_s/N_{\text{FFT}}\), y una ventana suaviza la fuga. En audio se prefiere resolución por octava constante (más puntos abajo), combinando varias FFT de distinta longitud. Y es imprescindible encontrar el retardo: el sistema introduce un tiempo de vuelo \(T_0\) que aparece como una fase \(-\omega T_0\) que gira sin parar; localizándolo (por el pico de la respuesta al impulso, IFFT de \(\hat H\)) y compensándolo, la fase se vuelve interpretable.

18.2 La coherencia: la métrica de confianza de la medida

La función de transferencia entrega tres trazas, pero solo dos son datos: la magnitud \(\lvert\hat H(f)\rvert\) y la fase \(\angle\hat H(f)\). La tercera —la coherencia \(\gamma^2(f)\)— es el metadato que dice cuánto valen esas dos en cada frecuencia. Se define como la correlación normalizada entre la referencia \(x\) y la medida \(y\) en el dominio espectral,

\[ \gamma^2(f) = \frac{\lvert S_{xy}(f)\rvert^2}{S_{xx}(f)\,S_{yy}(f)} \in [0,1], \]

donde:

\(\gamma^2(f)\) — coherencia (adimensional, entre 0 y 1)
\(S_{xy}(f)\) — espectro cruzado entre la referencia \(x\) y la medida \(y\)
\(S_{xx}(f)\) — auto-espectro de la referencia
\(S_{yy}(f)\) — auto-espectro de la medida
\(N\) — número de bloques promediados (índice)
\(f\) — frecuencia [Hz]

Todos los espectros van promediados sobre \(N\) bloques (sin promediar, \(\gamma^2\equiv 1\) y la métrica no informa). Interpretación exacta: \(\gamma^2\) es la fracción de la potencia de salida que un sistema lineal e invariante puede explicar a partir de la entrada; \(1-\gamma^2\) es la parte ajena —ruido, no linealidad o variación temporal—.

En el fondo, la coherencia es una relación señal-ruido. Si a la salida se suma ruido incoherente de potencia \(N_0(f)\) sobre una señal de potencia \(S_0(f)\), la coherencia esperada es

\[ \gamma^2(f) = \frac{\mathrm{SNR}(f)}{1+\mathrm{SNR}(f)}, \qquad \mathrm{SNR}(f)=\frac{S_0(f)}{N_0(f)}. \]

donde:

\(\gamma^2(f)\) — coherencia esperada (adimensional)
\(\mathrm{SNR}(f)\) — relación señal-ruido en potencia (adimensional)
\(S_0(f)\) — potencia de la señal
\(N_0(f)\) — potencia del ruido incoherente a la salida
\(f\) — frecuencia [Hz]

De aquí se lee todo: SNR de 0 dB da \(\gamma^2=0{,}5\); para \(\gamma^2=0{,}9\) hacen falta \(\approx {+}9{,}5\) dB; para \(0{,}99\), \(\approx{+}20\) dB (Figura 18.5). Por eso la coherencia se hunde donde el sistema entrega poco nivel —frecuencias bajas, extremos de banda— y, sobre todo, en los nulos de una reflexión (el comb del capítulo 3): ahí \(S_0\to 0\) por cancelación acústica, no por defecto del altavoz.

Figura 18.5: Coherencia en función de la relación señal-ruido, γ² = SNR/(1+SNR). Con SNR de 0 dB (señal = ruido) la coherencia es 0,5; alcanzar 0,9 exige +9,5 dB y 0,99, +20 dB.

Y no es solo diagnóstico: fija la incertidumbre de la propia medida. La desviación típica relativa del estimador de magnitud —y, en radianes, la de la fase— vale

\[ \frac{\sigma_{\lvert\hat H\rvert}}{\lvert\hat H\rvert}\;\approx\; \sqrt{\frac{1-\gamma^2}{2\,N\,\gamma^2}}, \qquad \sigma_{\angle\hat H}\;\approx\;\sqrt{\frac{1-\gamma^2}{2\,N\,\gamma^2}}\ \ [\text{rad}]. \]

donde:

\(\sigma_{\lvert\hat H\rvert}/\lvert\hat H\rvert\) — desviación típica relativa de la magnitud (adimensional)
\(\sigma_{\angle\hat H}\) — desviación típica de la fase [rad]
\(\gamma^2\) — coherencia (adimensional)
\(N\) — número de bloques promediados (índice)

Donde \(\gamma^2\to 1\) la traza es firme con pocos promedios; donde es baja, el temblor solo cae como \(1/\sqrt N\) —cuadruplicar \(N\) lo reduce a la mitad—, así que promediar estabiliza el valor pero no rescata una zona de baja coherencia (Figura 18.6).

Figura 18.6: Incertidumbre del estimador de magnitud, ±8,7·√((1−γ²)/(2Nγ²)) dB, según la coherencia y el número de promedios N. Con coherencia baja hacen falta muchos más promedios para la misma confianza; la línea de ±1 dB marca un objetivo típico de alineación.

En números redondos, la coherencia se traduce en SNR y en incertidumbre así:

\(\gamma^2\)	SNR necesaria	Incertidumbre de \(\lvert\hat H\rvert\), \(N=16\)	\(N=256\)
0,50	0 dB	±1,5 dB	±0,4 dB
0,70	+3,7 dB	±1,0 dB	±0,25 dB
0,90	+9,5 dB	±0,5 dB	±0,13 dB
0,99	+20 dB	±0,15 dB	±0,04 dB

Y sus causas, con su firma:

Causa	Mecanismo	Cómo se sube
Ruido de fondo	\(\gamma^2=\mathrm{SNR}/(1{+}\mathrm{SNR})\) cae donde hay poco nivel	más nivel, más \(N\)
Reflexión fuera de ventana	energía que llega tras \(T=N_{\text{FFT}}/f_s\), ajena al bloque	ventana más larga
No linealidad	distorsión/limitación crean energía ausente en \(x\)	bajar el nivel
Variación temporal	el sistema cambia entre bloques (viento, movimiento, \(T^\circ\))	medir estable

La regla de oro

Fija un umbral de confianza —por convención \(\gamma^2\gtrsim 0{,}9\) (a veces 0,95)— y por debajo de él no ecualices ni interpretes la fase: corregir un valle de baja coherencia es corregir ruido, no arregla nada y suele empeorar.

¿Quieres ir más a fondo? — La coherencia como estimador: sesgo y grados de libertad

Con \(N\) promedios, la coherencia medida \(\hat\gamma^2\) es un estimador sesgado de la real. Para señales gaussianas, su valor esperado es aproximadamente

\[ \mathbb{E}\!\left[\hat\gamma^2\right] \approx \gamma^2 + \frac{1}{N}\,\bigl(1-\gamma^2\bigr), \]

donde:

\(\mathbb{E}[\hat\gamma^2]\) — valor esperado de la coherencia medida
\(\hat\gamma^2\) — coherencia medida (estimada) (adimensional)
\(\gamma^2\) — coherencia real (adimensional)
\(N\) — número de bloques promediados (índice)

de modo que con pocos promedios la coherencia se ve artificialmente alta —y con \(N=1\) es idénticamente 1, por lo que hace falta \(N\ge 2\) para que la métrica exista—. Su varianza es

\[ \operatorname{var}\!\left[\hat\gamma^2\right] \approx \frac{2\,\gamma^2\,(1-\gamma^2)^2}{N}. \]

El número efectivo de grados de libertad de la estimación es \(\approx 2N\) (algo menos si las ventanas se solapan), y de él dependen los intervalos de confianza tanto de \(\hat\gamma^2\) como de \(\hat H\). Esa es la estadística detrás de la fórmula de varianza de \(\hat H\) y de la práctica de “promediar hasta que la coherencia se asiente”: no persigues subir la coherencia, sino acotar la incertidumbre de tu estimación [1].

18.3 La rutina de una medición, paso a paso

Todo lo anterior se convierte en oficio con una secuencia fija. Dónde: el micrófono de medición a la altura del oído, en asientos representativos del público —varios, no solo la mesa de mezcla—. Cuándo: con el sistema completo conectado y las ganancias definitivas, en la condición más parecida al uso real; las verificaciones, antes de que llegue el público. Cómo:

Verifica el analizador contra sí mismo. Conecta la salida del generador directamente a las dos entradas (referencia y medida): debe leer magnitud plana en 0 dB, fase 0° y coherencia 1. Si no, el problema está en tu cadena, no en el sistema. Treinta segundos que ahorran horas.
Estructura de ganancia. Niveles sanos en ambas entradas: lejos del ruido de fondo y lejos del recorte. La medida vale lo que valga su relación señal/ruido.
Ruido rosa al nivel de trabajo. Al menos ~10 dB por encima del ruido de la sala en la banda de interés — recuerda: \(\gamma^2 = \mathrm{SNR}/(1+\mathrm{SNR})\); sin nivel no hay confianza.
Encuentra y compensa el retardo con el delay finder (el pico de la respuesta al impulso). Sin esta compensación la fase gira sin sentido y no se puede leer.
Promedia. De 8 a 16 promedios como punto de partida; más si la sala es ruidosa o hay público moviéndose.
Lee la coherencia primero. Antes de mirar la magnitud, pregunta dónde es creíble: \(\gamma^2\gtrsim 0{,}9\) se interpreta; por debajo, se ignora o se vuelve a medir mejor.
Recorre posiciones. Repite en 3–6 asientos. Lo que es común a todos es del sistema y se corrige; lo que cambia de asiento en asiento es de la sala (capítulo 19).

Y los errores que más mediciones arruinan: medir con poca señal (la coherencia cae por SNR y se concluyen defectos falsos); recolocar la compensación de retardo entre subsistemas que vas a comparar (destruye la referencia de fase común — la clave de la alineación del capítulo 19); ecualizar los valles de baja coherencia; y creer que un punto es la sala.

18.4 Por qué esto es el corazón de la optimización

Todo lo que viene después —corrección de sala, alineación de crossovers, suma de subgraves— se decide sobre estas tres trazas. La función de transferencia es la respuesta en frecuencia del capítulo 2 medida en el mundo real, con la sala y el ruido incluidos; la reflexión que peina la magnitud es la suma del capítulo 3; y saber separar el filtro del recinto es, en palabras de McCarthy, la mitad del trabajo [2].

¿Quieres ir más a fondo? — Métodos de excitación: barridos vs. ruido

Además del doble canal con ruido rosa o música —el que corre en vivo durante un show, sin silenciar la sala—, hay una familia de técnicas de barrido que estiman la misma respuesta con otros compromisos. Todas obtienen, en el fondo, lo mismo —la respuesta del sistema—, pero difieren en ruido, tiempo y distorsión [2].

Time Delay Spectrometry (TDS), de Heyser: un barrido sinusoidal seguido de un filtro que persigue el retardo, lo que separa el directo de las reflexiones en el tiempo [3].
Secuencias de máxima longitud (MLS): ruido pseudoaleatorio periódico; la respuesta al impulso se recupera por correlación cruzada con la secuencia. Rápido, pero con dos talones de Aquiles: es muy sensible a la variación temporal (si algo se mueve, la correlación se degrada) y la distorsión del altavoz se reparte como un piso de ruido sobre toda la respuesta, limitando la relación señal/ruido alcanzable.
Barrido sinusoidal logarítmico (exponential sine sweep, ESS): un tono que sube de frecuencia de forma exponencial; se deconvoluciona con un filtro inverso —el propio barrido invertido en el tiempo y ecualizado— para obtener la respuesta al impulso.

Aquí está la joya, y es de Farina [4]: como el barrido es exponencial, cada orden de distorsión armónica aparece como una respuesta al impulso separada y adelantada en el tiempo —a tiempos negativos, antes de la respuesta lineal—. Basta recortar con una ventana para quedarte con la respuesta lineal limpia, libre de distorsión, algo imposible con MLS o ruido (donde la distorsión contamina toda la medida). Puedes incluso medir cada armónico por separado y empujar el altavoz fuerte —hasta la distorsión— sin ensuciar la respuesta lineal.

Por eso, comparados de frente, los barridos le ganan al ruido/MLS en las dos cosas que más limitan una medida: inmunidad a la distorsión —que el barrido separa por completo— y a la variación temporal, alcanzando relaciones señal/ruido de más de 90 dB que el MLS no logra por la no linealidad del altavoz [5].

¿El precio? El barrido es sensible a que algo cambie durante el barrido —una persona que cruza, el aire acondicionado, la temperatura— y no corre en vivo como el doble canal con música. En una frase: el doble canal con música es para optimizar en vivo; el barrido logarítmico es para caracterizar —altavoces, salas, respuestas al impulso para auralización o para diseñar filtros FIR— cuando la sala está quieta.

18.5 Lecturas adicionales

Espectros cruzados, coherencia y varianza de estimadores, la referencia matemática:
Medición de sistemas de sonido en la práctica (doble canal, alineación): [2].
Time Delay Spectrometry: [3]. Estimación espectral: [6].

18.6 Ejercicios

En el widget, fija SNR = 6 dB y compara 1 promedio vs 64. ¿Cuánto se reduce el temblor de la traza? Relaciónalo con la ley \(1/\sqrt N\).
Demuestra que, con ruido aditivo de potencia \(n\) en la salida y señal \(s\), la coherencia esperada es \(\gamma^2 = s/(s+n)\).
Una reflexión llega 12 ms después del directo. ¿Qué longitud mínima de FFT (a \(f_s=48\) kHz) necesitas para que su energía quede dentro de la ventana y no hunda la coherencia?