3 Suma: cómo se combinan dos fuentes – Diseño y Optimización de Sistemas de Audio

3.1 La idea, en una frase

Dos piedras caen en un estanque quieto y sus ondas se cruzan. Donde dos crestas coinciden, el agua sube más alto que con una sola piedra; donde una cresta encuentra un valle, el agua se queda plana, como si allí no hubiera pasado nada. Nadie diseñó ese dibujo de refuerzos y anulaciones: emerge, inevitable, del simple hecho de que las ondas se superponen —se suman punto a punto— en lugar de estorbarse. El sonido, que también es una onda, obedece exactamente la misma ley. Es uno de los principios más económicos y más poderosos de toda la física: donde coinciden varias perturbaciones, el medio no hace más que sumarlas.

Cuando dos altavoces reproducen la misma señal, en cada punto de la sala sus sonidos se suman como fasores. Y aquí está la sutileza que lo cambia todo: no basta con saber cuánto sonido manda cada uno, porque una onda no es un número sino una oscilación que lleva una fase —va adelantada o atrasada según el camino que recorrió hasta llegar. Sumar dos ondas es sumar dos relojes girando, no dos montones de energía. Si la primera llega con amplitud \(a\) y la segunda con amplitud \(b\) y un desfase \(\phi = \omega\,\Delta t\), la señal combinada y su magnitud son

\[ H(\omega) = a + b\,e^{-j\phi}, \qquad |H(\omega)|^2 = a^2 + b^2 + 2ab\cos\phi . \]

donde:

\(H(\omega)\) — señal combinada (función de transferencia de la suma)
\(a\) — amplitud de la primera fuente
\(b\) — amplitud de la segunda fuente
\(\phi\) — desfase entre las dos llegadas [rad]
\(\omega\) — frecuencia angular [rad/s]

El resultado —desde un refuerzo de hasta +6 dB hasta una cancelación casi total— depende de solo dos cosas: la diferencia de nivel entre las dos fuentes (\(a\) frente a \(b\)) y su diferencia de tiempo o de fase al llegar a ese punto (\(\Delta t\), \(\phi\)). Con niveles iguales (\(a=b\)) la suma se reduce a \(|H| = 2a\,\lvert\cos(\phi/2)\rvert\): vale \(2a\) —+6 dB— en fase y cero en oposición.

Esa suma es el fenómeno más importante —y más subestimado— del diseño de sistemas de sonido. Lo que en el estanque era un espectáculo inofensivo, en una sala llena de gente es la diferencia entre un sistema que suena parejo y uno que abandona zonas enteras del público. Y como el desfase depende de la frecuencia —tonos distintos ven caminos distintos en términos de sus propias longitudes de onda—, dos fuentes que en un punto refuerzan una frecuencia baja pueden estar cancelando una frecuencia alta en ese mismo punto. Casi todos los problemas de un sistema mal alineado (una respuesta “peinada”, zonas que suenan huecas, un centro de sala apagado) son, en el fondo, suma mal gestionada. Entender esta única operación es entender por qué el sonido se comporta como se comporta en el espacio real, y por eso McCarthy organiza toda su metodología de optimización alrededor de ella [1].

Idea clave

Dos fuentes idénticas no suman siempre +6 dB. Suman +6 dB solo si llegan en fase; si llegan en oposición de fase, se cancelan. Entre esos dos extremos, cada frecuencia recibe un trato distinto: eso es el comb filtering (filtrado en peine).

Míralo tú mismo. Aquí tienes dos señales —cada una con su amplitud, su frecuencia y su fase— y su suma en morado. Ponlas a la misma frecuencia y mueve la fase de una: pasarás del refuerzo de +6 dB a la cancelación total (y lo oirás). Luego dales frecuencias distintas y verás —y escucharás— aparecer el batido:

Figura 3.1: Suma de dos señales — animación interactiva.

3.2 Nivel y fase: las dos perillas de toda suma

Toda la suma cabe en una sola curva: el nivel de la combinación en función del desfase entre las dos fuentes. Con niveles iguales va de +6 dB (en fase, \(\phi = 0\)) a \(-\infty\) (en oposición, \(\phi = 180°\)). En cuanto la segunda fuente llega más baja, los nulos dejan de ser infinitos; su profundidad respecto al refuerzo máximo es

\[ \text{profundidad del nulo} = 20\log_{10}\frac{a+b}{\lvert a-b\rvert}. \]

donde:

\(a\) — amplitud de la fuente primaria
\(b\) — amplitud de la fuente secundaria

Figura 3.2: Nivel de la suma de dos fuentes en función de su diferencia de fase, para distintas diferencias de nivel ΔL entre ellas. Con ΔL = 0 el rango va de +6 dB a −∞; unos pocos dB de diferencia elevan el fondo del nulo y domestican el rizado.

La consecuencia de ingeniería es directa: el nivel domestica la cancelación. Bastan unos pocos decibeles de diferencia para que un nulo infinito se vuelva un rizado manejable:

Diferencia de nivel \(\Delta L\)	Refuerzo máx. (\(\phi=0\))	Nivel en el nulo (\(\phi=180°\))	Rizado pico-a-nulo
0 dB	+6,0 dB	\(-\infty\)	\(\infty\)
3 dB	+4,6 dB	−10,7 dB	15,3 dB
6 dB	+3,5 dB	−6,0 dB	9,6 dB
10 dB	+2,4 dB	−3,3 dB	5,7 dB
12 dB	+1,9 dB	−2,5 dB	4,4 dB
20 dB	+0,8 dB	−0,9 dB	1,7 dB

Por eso, cuando dos fuentes se solapan sin remedio, atenuar la secundaria es tan válido como retardarla: nivel y tiempo son las únicas dos perillas que hay —las mismas del widget.

3.3 Las zonas de suma

En función del desfase temporal \(\Delta t\) entre las dos llegadas, McCarthy distingue tres regímenes prácticos [1]:

Régimen	Retardo \(\Delta t\)	Qué ocurre
Acoplamiento	\(\Delta t \approx 0\) (menos de ¼ de periodo)	las ondas viajan casi juntas; suman coherentes en toda la banda, hasta +6 dB plano. Lo que buscamos entre dos subgraves muy próximos.
Comb filtering	del orden de milisegundos	refuerzo y cancelación alternos, como los dientes de un peine.
Aislamiento	fuentes que apenas se solapan	cada una domina su zona; la interacción es débil.

Escucha y mira cómo nace el peine al separar las fuentes en el tiempo:

Figura 3.3: Suma de dos fuentes — animación interactiva.

Mueve Δt desde 0: verás la curva pasar de plana (+6 dB) a un peine cada vez más denso, y lo oirás como un timbre metálico y hueco. Baja el nivel de la 2.ª fuente: los nulos se hacen menos profundos (una fuente domina). Cambia la polaridad: el patrón se invierte, picos donde antes había nulos.

¿Quieres ir más a fondo? — El principio de superposición y la ecuación de onda

Que dos campos se “sumen” no es un supuesto: se deduce de que la acústica de pequeña señal es lineal. Se parte de las tres ecuaciones linealizadas del fluido —conservación de masa, ecuación de Euler (cantidad de movimiento) y la relación de estado adiabática—:

\[ \frac{\partial \rho'}{\partial t} + \rho_0\,\nabla\cdot\mathbf{u} = 0, \qquad \rho_0\,\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} = -\nabla p, \qquad p = c^2\,\rho', \]

donde:

\(p\) — perturbación de presión sobre el reposo [Pa]
\(\rho'\) — perturbación de densidad sobre el reposo [kg/m³]
\(\mathbf{u}\) — velocidad de partícula [m/s]
\(p_0\) — presión en reposo [Pa]
\(\rho_0\) — densidad del medio en reposo [kg/m³]
\(c\) — velocidad del sonido [m/s]
\(\gamma\) — coeficiente adiabático del gas
\(t\) — tiempo [s]

El cuadrado de la velocidad del sonido cierra la relación de estado, \(c^2=(\partial p/\partial\rho)_s=\gamma p_0/\rho_0\). Tomando \(\partial/\partial t\) de la continuidad y la divergencia de la ecuación de Euler se eliminan \(\rho'\) y \(\mathbf u\), y queda la ecuación de onda [2], [3], [4]:

\[ \nabla^2 p - \frac{1}{c^2}\,\frac{\partial^2 p}{\partial t^2} = 0 . \]

Como el operador \(\nabla^2 - c^{-2}\,\partial_t^2\) es lineal, si \(p_1\) y \(p_2\) son soluciones, \(p_1+p_2\) también lo es: ese es el principio de superposición, y por él el campo de dos fuentes es la suma de sus campos individuales.

En régimen armónico \(p(\mathbf r,t)=\Re\{P(\mathbf r)\,e^{j\omega t}\}\), la ecuación de onda se reduce a la ecuación de Helmholtz \(\nabla^2 P + k^2 P = 0\), con \(k=\omega/c\). Su solución para una fuente puntual es la onda esférica \(P(\mathbf r)=\dfrac{A}{r}\,e^{-jkr}\): cada llegada a un punto es un fasor \(|P|\,e^{j\angle P}\), y sumar dos llegadas es sumar dos números complejos —exactamente lo que hace el widget—. La linealización es válida mientras \(|p|\ll p_0\) (por debajo de ~130 dB SPL); a niveles extremos aparecen la no linealidad y las ondas de choque, y la superposición deja de ser exacta.

3.4 De dónde salen los picos y los nulos

Con niveles iguales y un retardo \(\Delta t\), el primer nulo cae en \(f_1 = 1/(2\,\Delta t)\) y a partir de ahí los nulos se repiten cada \(1/\Delta t\) hertz. Un retardo de 1 ms, por ejemplo, pone el primer nulo en 500 Hz y peina todo el espectro cada 1000 Hz. Este es exactamente el patrón que ves en la figura siguiente, calculada con Python:

Figura 3.4: Respuesta de suma de dos fuentes de igual nivel con retardo de 1 ms. Los nulos (líneas punteadas) caen en 500, 1500, 2500 Hz… y los picos (+6 dB) en 0, 1000, 2000 Hz…

Fíjate en que el peine es periódico en frecuencia lineal, no logarítmica: por eso se ve apretarse hacia la derecha en el eje log. Y esa es la razón acústica de por qué una simple reflexión tardía, o dos altavoces mal alineados, “colorean” el sonido de forma tan audible [5], [6].

El retardo fija por completo la posición del peine: a más \(\Delta t\), más denso y arranca en frecuencias más bajas. El primer nulo y el espaciado son simplemente

\[ f_1 = \frac{1}{2\,\Delta t}, \qquad \Delta f = \frac{1}{\Delta t}, \]

donde:

\(f_1\) — frecuencia del primer nulo [Hz]
\(\Delta f\) — espaciado entre nulos consecutivos [Hz]
\(\Delta t\) — retardo entre las dos llegadas [s]

como se ve al barrer el retardo:

Figura 3.5: Suma de dos fuentes de igual nivel para cuatro retardos. A mayor Δt, el primer nulo baja en frecuencia (f₁ = 1/2Δt) y el peine se hace más denso.

Retardo \(\Delta t\)	Primer nulo \(f_1\)	Espaciado \(\Delta f\)
0,25 ms	2000 Hz	4000 Hz
0,5 ms	1000 Hz	2000 Hz
1 ms	500 Hz	1000 Hz
2 ms	250 Hz	500 Hz

¿Quieres ir más a fondo? — Dos fuentes: el peine

Sean dos llegadas de la misma señal, con amplitudes \(a\) y \(b\) y un retardo relativo \(\Delta t\) (fase \(\phi = \omega\,\Delta t\)) en el punto de escucha. La función de transferencia de la suma, normalizada a la primera fuente, es

\[ H(\omega) = a + b\,e^{-j\omega\,\Delta t}. \]

donde:

\(H(\omega)\) — función de transferencia de la suma (normalizada a la primera fuente)
\(a\) — amplitud de la primera fuente
\(b\) — amplitud de la segunda fuente
\(\omega\) — frecuencia angular [rad/s]
\(\Delta t\) — retardo relativo entre las dos llegadas [s]

Su magnitud al cuadrado se obtiene multiplicando por el conjugado:

\[ |H(\omega)|^2 = a^2 + b^2 + 2ab\,\cos(\omega\,\Delta t). \]

De aquí sale todo lo que oíste en el widget:

Máximos (interferencia constructiva) cuando \(\cos(\omega\Delta t)=1\), es decir \(\omega\Delta t = 2k\pi\) → \(f = k/\Delta t\). Ahí \(|H| = a+b\); con \(a=b\) son \(20\log_{10}2 = +6{,}02\) dB.
Mínimos (destructiva) cuando \(\cos(\omega\Delta t)=-1\), es decir \(\omega\Delta t = (2k+1)\pi\) → \(f = (2k+1)/(2\Delta t)\). Ahí \(|H| = |a-b|\); con \(a=b\) es cancelación total, \(-\infty\) dB.

El espaciado del peine es \(\Delta f = 1/\Delta t\), constante en frecuencia lineal — de ahí su aspecto en el eje logarítmico. Con niveles desiguales (\(a\neq b\)) los nulos dejan de ser infinitos: su profundidad es \(20\log_{10}\!\frac{a+b}{|a-b|}\). Por eso, atenuar la fuente secundaria 12 dB reduce el rizado del peine a apenas \(\pm 2{,}3\) dB: la suma problemática se combate tanto con tiempo como con nivel, y esa es la base del control de solapamiento en el diseño de arreglos [1].

¿Quieres ir más a fondo? — De la geometría al retardo

En un campo lejano, el retardo entre dos fuentes separadas una distancia \(d\) visto desde un ángulo \(\theta\) nace de la diferencia de camino \(\Delta r = d\sin\theta\):

\[ \Delta t(\theta) = \frac{d\sin\theta}{c}. \]

donde:

\(\Delta t\) — retardo entre las dos fuentes [s]
\(\Delta r\) — diferencia de camino entre las dos fuentes [m]
\(d\) — separación entre las fuentes [m]
\(\theta\) — ángulo de observación [rad]
\(c\) — velocidad del sonido [m/s]

Sustituyendo en la suma de fasores, la directividad de dos fuentes idénticas es

\[ |H(\theta,\omega)| = 2\left|\cos\!\left(\frac{\omega d\sin\theta}{2c}\right)\right|, \]

el patrón clásico de interferencia de dos elementos [7], [8]. El comb filtering en frecuencia (widget) y el patrón polar en el espacio son, por tanto, el mismo fenómeno visto en dos ejes distintos.

3.5 La suma como eje de la optimización

Todo lo que hace un sistema de sonido, visto de cerca, es suma. Un altavoz principal y un subgrave suman; las dos vías de una caja suman en el cruce; las cajas de un arreglo suman entre sí; una torre de retardo suma con el escenario; y todo eso, a su vez, suma con las reflexiones de la sala. En cada asiento, lo que se oye es la suma de muchas llegadas, cada una con su nivel y su tiempo.

Por eso optimizar un sistema no es “ecualizar una curva”, sino gobernar sumas: hacer que refuercen donde está el público (acoplamiento) y que no se peinen ni se cancelen donde importa. Y para controlar cualquier suma solo hay dos perillas —las mismas dos del widget—: el nivel relativo y el tiempo (retardo) de cada fuente. Ajustar niveles y retardos para que la suma sea pareja en toda la audiencia es, en una frase, el trabajo de optimización que McCarthy sistematiza [1], [9] y que recorre el resto del libro: los crossovers (capítulo 10) son la suma de dos vías; los arreglos (capítulos 11–13), la de muchas fuentes; y el capítulo final (20) reúne todo bajo el principio de mínima varianza.

¿Quieres ir más a fondo? — Generalización: el array factor

Para \(N\) fuentes idénticas, equiespaciadas \(d\) y alimentadas con un desfase progresivo \(\alpha\), la superposición da una serie geométrica cuya suma es el factor de arreglo

\[ \mathrm{AF}(\psi) = \frac{\sin(N\psi/2)}{\sin(\psi/2)}, \qquad \psi = \frac{\omega d}{c}\sin\theta + \alpha . \]

donde:

\(\mathrm{AF}\) — factor de arreglo
\(\psi\) — desfase acumulado entre elementos adyacentes [rad]
\(N\) — número de fuentes
\(\omega\) — frecuencia angular [rad/s]
\(d\) — separación entre fuentes [m]
\(c\) — velocidad del sonido [m/s]
\(\theta\) — ángulo de observación [rad]
\(\alpha\) — desfase progresivo de alimentación entre elementos [rad]

Este resultado —idéntico en forma al de los arreglos de antenas— gobierna el lóbulo principal, los lóbulos laterales y el aliasing espacial (grating lobes) de un line array, y es el punto de partida de la teoría moderna de arreglos curvos y wavefront sculpture [10], [11]. La condición para evitar lóbulos de rejilla, \(d < \lambda\), es la versión espacial del criterio de Nyquist.

¿Quieres ir más a fondo? — De la interferencia a la directividad (electroacústica clásica)

La electroacústica clásica resume cuánto “apunta” una fuente o un arreglo con dos cifras [7], [8]. El factor de directividad \(Q\) es el cociente entre la intensidad en el eje y la que produciría una fuente omnidireccional de igual potencia, promediada sobre la esfera; en decibeles, el índice de directividad

\[ \mathrm{DI} = 10\log_{10} Q . \]

donde:

\(\mathrm{DI}\) — índice de directividad [dB]
\(Q\) — factor de directividad

Una fuente puntual tiene \(Q=1\) (\(\mathrm{DI}=0\) dB); dos fuentes que suman en el eje pero se cancelan a los lados concentran la energía y suben \(Q\); un arreglo de \(N\) elementos con apertura \(L\) alcanza, en la banda donde \(L\gg\lambda\), un \(Q\propto L/\lambda\). Es la misma interferencia del peine, ahora leída como ganancia de directividad: la energía que se anula en los nulos angulares reaparece, sumada, en el lóbulo principal. Este es el puente entre la suma de este capítulo y la directividad de los capítulos 11–13.

¿Quieres ir más a fondo? — Estabilidad numérica y coherencia

En la medición real, la coherencia de la función de transferencia cae justo en los nulos: allí la relación señal-ruido se desploma y la fase se vuelve indeterminada. Reconocer que un nulo profundo es una cancelación acústica y no un defecto del altavoz es, en la práctica, la mitad del trabajo de alineación [1], [9].

3.6 Cómo lo oímos: comb filtering y reflexiones tempranas

El oído no “ve” el peine como una curva de filtro. Un comb denso se percibe como una coloración —un timbre hueco, metálico o “de fase”—; si el retardo es grande, la segunda llegada se despega y se oye como un eco separado. Entre medio hay una zona enorme y muy útil: la de las reflexiones tempranas.

Cuando la segunda llegada aparece dentro de los primeros ~30–40 ms, el oído no la separa: la funde con el sonido directo por el efecto de precedencia (capítulo 17). Seguimos localizando la fuente por la primera onda, y la reflexión aporta cuerpo, timbre y sensación de espacio en vez de un eco. Por eso una reflexión cercana “colorea” el sonido —le mete su peine— sin confundirte sobre de dónde viene la voz.

La consecuencia práctica es liberadora: el objetivo no es eliminar toda reflexión, sino controlar cuáles llegan, cuándo y con qué nivel. Reflexiones tempranas suaves y bien repartidas pueden ser agradables; las intensas y aisladas colorean o generan eco. Distinguir unas de otras —por su retardo, su nivel y su espectro— es la base perceptual de todo lo que veremos sobre salas (capítulo 16) y percepción (capítulo 17) [5], [6].

3.7 Lecturas adicionales

El principio de superposición y la ecuación de onda, con todo el aparato matemático: [2], [3] y [4].
Interferencia de fuentes y directividad de arreglos desde la electroacústica clásica: [7] y [8].
La suma como eje de la optimización práctica de sistemas: [1] y [9].
Teoría de line arrays y arreglos curvos: [10] y [11].
Percepción del comb filtering y de las reflexiones tempranas: [5].

3.8 Ejercicios

Un retardo de 0,25 ms entre dos fuentes iguales. ¿En qué frecuencia cae el primer nulo? Verifícalo en el widget.
Demuestra, a partir de \(|H|^2 = a^2+b^2+2ab\cos(\omega\Delta t)\), que la profundidad de los nulos es \(20\log_{10}\frac{a+b}{|a-b|}\) y calcula el rizado para una diferencia de nivel de 6 dB entre fuentes.
Dos subgraves separados 1 m. ¿A partir de qué frecuencia empieza a haber cancelaciones fuera del eje? Relaciona tu respuesta con la condición \(d<\lambda\).