10 Crossovers: repartir la banda sin romper la suma
10.1 La idea, en una frase
Ningún objeto físico puede, a la vez, ser lo bastante liviano para seguir una vibración de quince mil ciclos por segundo y lo bastante grande para empujar el aire que exige una frecuencia baja profunda. No es un capricho de ingeniería, sino una tensión de la mecánica misma: la inercia que hace falta para desplazar mucho aire es justo la que impide moverlo deprisa. Un diafragma diminuto y ágil traza las frecuencias altas con soltura pero apenas mueve aire; uno grande y potente llena la sala de frecuencias bajas pero es demasiado pesado para responder a las frecuencias altas. Ningún transductor escapa a ese dilema, y por eso ningún altavoz reproduce bien todo el rango audible.
La respuesta es la vieja estrategia de dividir para vencer: un sistema reparte la banda entre varias vías —frecuencias bajas, medios, frecuencias altas— mediante un crossover (filtro divisor), y encomienda cada tramo del espectro al transductor que mejor lo sirve. Pero aquí acecha lo sutil, porque repartir suena más fácil de lo que es. El reto no está en filtrar cada vía por separado: está en que, en la frecuencia de cruce, las dos vías suenan a la vez, sus ondas comparten el mismo aire y por tanto se suman (justo el fenómeno del capítulo de Suma). El verdadero arte del crossover no es la división, sino la reunión: lograr que las piezas, al recombinarse, reconstruyan un todo sin costura audible. Un buen crossover consigue que esa suma sea plana; uno malo deja un hueco o un pico justo en el punto donde el oído no debería notar frontera alguna.
Idea claveIdea clave
Un crossover no “corta” el sonido en dos: crea una zona de solapamiento donde ambas vías coexisten. Diseñar el crossover es, en el fondo, diseñar una suma controlada.
Por qué Linkwitz-Riley es el estándar
La respuesta del sistema es la suma compleja de las dos vías, \(H_\Sigma = H_\text{LP} + H_\text{HP}\), y el objetivo es \(|H_\Sigma| = 1\) (plano). Si haces el cruce con dos filtros Butterworth de 2.º orden, en la frecuencia de cruce cada vía está a \(-3\) dB y sus fases difieren 180°… lo que produce un abultamiento de +3 dB o un nulo, según la polaridad. La solución, propuesta por Linkwitz y Riley, es usar filtros cuya salida esté a \(-6\) dB en el cruce y en fase; así \(H_\Sigma(j\omega_c) = \tfrac12 + \tfrac12 = 1\), plano [1]. Un Linkwitz-Riley de 4.º orden (dos Butterworth en cascada, \(H^{LR} = [H^{BW_2}]^2\)) es hoy el divisor más usado por esta razón:
La historia detrás del estándar merece contarse, porque es de las buenas. Los crossovers nacieron con el cine sonoro: los sistemas de dos vías de los años treinta (los grandes teatros de la MGM y los laboratorios de Bell) ya repartían la banda con redes pasivas de bobinas y condensadores, a fuerza de músculo y oído. Pero la solución moderna vino de un hobby: Siegfried Linkwitz y Russ Riley eran colegas en Hewlett-Packard —instrumentación, no audio— y el problema que los desvelaba era el sonido de los altavoces caseros de Linkwitz. Su artículo de 1976 [1], escrito al margen del trabajo, resolvió con una idea limpia (−6 dB y en fase: la suma da 1) lo que la industria llevaba décadas emparchando — y hoy no hay procesador profesional que no lleve sus apellidos en el menú.
Las familias de cruce se distinguen justo por lo que pasa en el punto de cruce:
| Cruce | Nivel de cada vía en \(f_c\) | Fase mutua | Suma |
|---|---|---|---|
| Butterworth 1.º | −3 dB | 90° | plana (allpass) |
| Butterworth 2.º | −3 dB | 180° | +3 dB o nulo según polaridad |
| Linkwitz-Riley 2.º | −6 dB | en fase | plana (con una vía invertida) |
| Linkwitz-Riley 4.º | −6 dB | en fase | plana, sin invertir — el estándar |
Compruébalo: el widget suma las dos vías en tiempo real. Con Linkwitz-Riley, polaridad normal y sin retardo, la suma (azul) es plana. Rompe cualquiera de esas condiciones y observa —y escucha— aparecer el hueco:
Prueba a invertir la polaridad de las frecuencias altas con el Linkwitz-Riley: la suma se desploma en un nulo profundo justo en el cruce. Ahora añade un retardo de las frecuencias altas: el nulo se desplaza y aparecen ondulaciones — el mismo comb filtering del capítulo anterior, ahora localizado en la zona de cruce. Esto es exactamente lo que ocurre cuando el woofer y el tweeter no están alineados en el tiempo:
En la práctica, todo lo que estropea el cruce se reduce a un puñado de causas, cada una con su remedio:
| Problema | Efecto en el cruce | Remedio |
|---|---|---|
| Polaridad invertida | nulo profundo | corregir la polaridad de una vía |
| Retardo entre vías (\(\tau\)) | comb, lóbulo inclinado | alinear en el tiempo (delay) |
| Tipo/orden equivocado | pico de +3 dB o hueco | usar Linkwitz-Riley (−6 dB, en fase) |
| Desalineación geométrica | nulo fuera de eje | alinear centros acústicos y añadir delay |
Importante¿Quieres ir más a fondo? — El requisito de reconstrucción
La respuesta del sistema es la suma compleja de las dos vías:
\[ H_\Sigma(s) = H_\text{LP}(s) + H_\text{HP}(s). \]
donde:
- \(H_\Sigma(s)\) — respuesta del sistema completo (suma de las vías)
- \(H_\text{LP}(s)\) — transferencia de la vía de frecuencias bajas (paso-bajos)
- \(H_\text{HP}(s)\) — transferencia de la vía de frecuencias altas (paso-altos)
- \(s\) — variable compleja de Laplace [rad/s]
La reconstrucción perfecta de magnitud exige \(|H_\Sigma(j\omega)| = 1\) para todo \(\omega\). Esto es una condición sobre fasores, no sobre magnitudes: dos vías pueden estar ambas a \(-6\) dB y sumar 0 dB (si están en fase) o sumar \(-\infty\) (si están en oposición).
Importante¿Quieres ir más a fondo? — Por qué el Butterworth impar falla y el Linkwitz-Riley no
Para un Butterworth de orden \(n\), en el cruce cada vía vale \(|H| = 1/\sqrt2\) (\(-3\) dB) y entre ellas hay un desfase de \(n\cdot 45°\). Con \(n=1\) suman plano; con \(n=2\) el desfase es \(180°\) → nulo (o \(+3\) dB si se invierte una vía); con órdenes impares altos reaparece el problema de fase.
La familia Linkwitz-Riley de orden \(2m\) se construye como el cuadrado de un Butterworth de orden \(m\):
\[ H_\text{LP}^{LR}(s) = \bigl[H_\text{LP}^{BW_m}(s)\bigr]^2, \qquad H_\text{HP}^{LR}(s) = \bigl[H_\text{HP}^{BW_m}(s)\bigr]^2 . \]
donde:
- \(H_\text{LP}^{LR}\), \(H_\text{HP}^{LR}\) — transferencias Linkwitz-Riley (paso-bajos y paso-altos)
- \(H_\text{LP}^{BW_m}\), \(H_\text{HP}^{BW_m}\) — transferencias Butterworth de orden \(m\)
- \(m\) — orden del Butterworth base (el LR resulta de orden \(2m\))
- \(s\) — variable compleja de Laplace [rad/s]
En el cruce, cada vía vale \((1/\sqrt2)^2 = 1/2\), es decir \(-6\) dB, y —clave— ambas vías están en fase (su desfase mutuo es \(0°\) o \(360°\)). Por tanto
\[ H_\text{LP}^{LR}(j\omega_c) + H_\text{HP}^{LR}(j\omega_c) = \tfrac12 + \tfrac12 = 1, \]
donde:
- \(\omega_c\) — frecuencia angular de cruce [rad/s]
suma plana. Para el LR de 4.º orden (\(m=2\)), puede demostrarse que \(|H_\text{LP}^{LR}(j\omega)|^2 + |H_\text{HP}^{LR}(j\omega)|^2\) y las fases se combinan de modo que \(|H_\Sigma| = 1\) en toda la banda, no solo en el cruce [1].
Importante¿Quieres ir más a fondo? — El precio: fase no lineal
El Linkwitz-Riley reconstruye la magnitud perfectamente, pero su fase gira \(360°\) a través del cruce: la respuesta al impulso no es simétrica y hay retardo de grupo dependiente de la frecuencia. Recuperar además la fase lineal exige crossovers FIR, que consiguen magnitud y fase planas a cambio de latencia y coste de cómputo — el compromiso que analizan Lipshitz y Vanderkooy [2]. La elección IIR (Linkwitz-Riley) vs. FIR de fase lineal es una de las decisiones de diseño centrales en un sistema moderno.
10.2 El acoplo con la geometría: el lóbulo del cruce
Hasta aquí, el crossover fue un problema de una dimensión: la suma eléctrica de dos filtros. Pero en la caja real el woofer y el tweeter no están en el mismo punto — y en la banda del cruce, donde ambos suenan a la vez, la caja se convierte en un arreglo de dos fuentes separadas verticalmente (capítulo 11). Primero en llano: dos bocas cantando la misma nota, una sobre otra. Hacia el frente exacto, sus caminos son iguales y suman; hacia arriba o hacia abajo, una queda más cerca que la otra, las fases se abren, y aparece el patrón inevitable de todo arreglo: un lóbulo con su nulo.
Y aquí la regla de oro que ordena todo el diagnóstico vertical de un sistema: el lóbulo apunta hacia el transductor que llega tarde. La razón cabe en una frase: la suma es máxima donde las dos llegadas quedan en fase, y eso ocurre del lado donde el camino del adelantado se alarga hasta empatar al rezagado. En una caja típica el rezagado es el woofer —su bobina vive varios centímetros metida en la caja—, así que el lóbulo del cruce se cae hacia abajo… salvo que lo endereces con retardo electrónico al tweeter: exactamente \(\tau = \text{profundidad}/c\). Opéralo tú — endereza el lóbulo, y muévete con el oyente para oír el nulo:
Dos lecciones del widget que valen dinero. Una: el nulo no se elimina — se dirige; el diseño consiste en mandarlo donde no haya público (al techo, al suelo), no en soñar con borrarlo. Dos: la separación manda — con los transductores a un cuarto de longitud de onda el patrón es noble, y a una longitud de onda es un erizo; por eso las cajas buenas montan el tweeter pegado al woofer, y por eso la frecuencia de cruce y la geometría se eligen juntas. La historia dejó aquí también su solución elegante: Joseph D’Appolito propuso en los años ochenta la configuración simétrica M-T-M (woofer–tweeter–woofer), cuyo lóbulo, por pura simetría, no puede inclinarse — la respuesta geométrica a un problema geométrico [3], [4].
Importante¿Quieres ir más a fondo? — Suma con retardo: de nuevo el peine
Si una vía llega con un retardo \(\tau\) (por geometría o por delay mal ajustado), su fasor gana un factor \(e^{-j\omega\tau}\) y la suma en la zona de cruce recupera la forma \(|H_\text{LP} + H_\text{HP}\,e^{-j\omega\tau}|\): reaparece el comb filtering del capítulo de Suma, ahora confinado al ancho de la región de solapamiento. Alinear el tiempo entre vías es, literalmente, llevar \(\tau \to 0\) en el cruce.
10.3 La rutina: ajustar el cruce de una caja activa
Cuando te toque cerrar el crossover de un sistema procesado (una caja biamplificada, una vía media-alta), este es el orden. Dónde: micrófono en el eje de la caja, a distancia de campo lejano (varias veces el tamaño de la caja), con la rutina de medición del capítulo 18. Cuándo: después de verificar polaridades y antes de cualquier EQ global. Cómo:
- Elige la frecuencia de cruce con criterio doble: bastante abajo para que el tweeter no trabaje cerca de su límite (excursión y distorsión crecen rápido hacia abajo), y donde las directividades de las dos vías empaten — el cruce ideal es invisible también en cobertura (capítulo 12).
- Tipo y orden: Linkwitz-Riley de 4.º orden salvo razón concreta en contra. Es el estándar por las razones de este capítulo, no por moda.
- Alinea el tiempo entre vías: mide cada vía sola (misma compensación de retardo del analizador — la regla fija del capítulo 18) y superpón sus fases en la banda de cruce añadiendo retardo a la que llegue primero — casi siempre el tweeter, para compensar la profundidad del woofer.
- Verifica la polaridad: fases paralelas a 180° = una vía invertida.
- Enciende ambas y exige la suma: plana a través del cruce. Un hueco o un pico de +3 dB te dice exactamente qué paso quedó mal (la tabla de averías de arriba).
- El paso que casi nadie da: muévete en vertical. Sube y baja el micrófono (o tú mismo, de pie y en cuclillas): el nulo del lóbulo debe caer fuera de la zona de público. Si barre las butacas, revisa el retardo del paso 3 — el lóbulo apunta hacia el que llega tarde.
Los errores clásicos: fiarse del preset del fabricante con otra amplificación u otro procesador (los retardos internos cambian); cruzar el tweeter demasiado abajo “porque suena más suave” (hasta que llega la primera gira); y medir solo en el eje — el cruce se juzga también de pie, en la primera fila y en el balcón.
10.4 Lecturas adicionales
10.5 Ejercicios
- Con un Linkwitz-Riley de 4.º orden en el widget, invierte la polaridad de las frecuencias altas. ¿Cuánto cae la suma en el cruce? Explica por qué usando la condición de fasores.
- Demuestra que dos Butterworth de 1.er orden (LP y HP a la misma \(f_c\)) suman exactamente 1 en magnitud y fase para todo \(\omega\). (Pista: \(H_\text{LP}+H_\text{HP}=1\) de forma exacta.)
- Un woofer y un tweeter separados 25 cm en vertical, cruce a 2 kHz. Estima el retardo entre centros acústicos y, con el widget, encuentra qué retardo reproduce el hueco que verías fuera de eje.
- En el widget del lóbulo, con separación de 25 cm y profundidad de 40 mm, calcula a mano el retardo de compensación (\(\tau=\text{profundidad}/c\)) y verifica que centra el lóbulo. Luego deduce el ángulo del nulo alineado con \(\sin\theta_{\text{nulo}} = \lambda/(2d)\) y compáralo con lo que ves.
- Explica, por simetría, por qué la configuración M-T-M de D’Appolito no puede inclinar su lóbulo aunque el tweeter llegue tarde. ¿Qué problema nuevo introduce la tercera fuente?