13  Line arrays: cubrir un recinto entero con un arreglo curvado

13.1 La idea, en una frase

Toda fuente de sonido reparte una energía que no se puede fabricar de la nada. Encender un altavoz es repartir un presupuesto fijo de potencia sobre un espacio, y la naturaleza cobra su peaje sin piedad: una fuente puntual esparce su energía sobre una esfera que crece con el cuadrado de la distancia, de modo que el nivel cae 6 dB cada vez que uno se aleja al doble. En una sala llena, eso significa una injusticia geométrica cruda —la primera fila, a 5 metros, recibe un vendaval; la última, a 50, unas migajas—. El problema de un sistema para un recinto grande no es “sonar fuerte”: es de reparto. Llevar un nivel y un timbre parecidos a quien está cerca y a quien está lejos, con el mismo presupuesto de energía, es el verdadero enunciado del problema.

La salida no es gritar más, sino gastar mejor. Si la energía se derrama por igual en todas direcciones, la mayor parte se estrella contra el techo, el suelo y las paredes laterales — superficies donde no hay nadie que escuche, y desde donde el sonido vuelve tarde como reverberación que enturbia la inteligibilidad. La estrategia profunda de un line array es tratar la directividad como una forma de economía: no desperdiciar ni un watt donde no hace falta, para poder gastarlo llevándolo lejos. Como vimos en directividad, apilar cajas en línea estrecha el haz — y ahí están, a la vez, el truco y la trampa. Estrecho es bueno para llegar lejos sin malgastar energía en el techo, pero un arreglo recto lanza una “lanza” tan cerrada que cubre solo una franja y deja el resto a oscuras: se pasa de largo, y ahora el defecto es el opuesto.

De modo que el arte no consiste en enfocar cuanto se pueda, sino en dosificar la concentración con precisión quirúrgica: abrir el haz justo lo necesario para bañar a todo el público y ni un grado más. La solución es curvar el arreglo —darle más ángulo entre cajas abajo que arriba— para abrir el haz en un abanico que reparte más energía hacia el fondo lejano y menos hacia las filas cercanas, igualando lo que la geometría, por sí sola, se empeñaría en hacer desigual.

Idea claveIdea clave

Un arreglo recto apunta; un arreglo curvado cubre. El curvado (splay) cambia una directividad estrecha por una cobertura ancha y controlada — el arte del diseño es elegir la curva que iguala el nivel de la primera a la última fila.

Míralo. El mapa muestra el nivel sonoro en el plano vertical: azul bajo, rojo alto. Cambia el splay de 0 (recto) a curvado y observa cómo la lanza se abre en abanico; sube la frecuencia y verás el haz estrecharse (las frecuencias altas “se van de caza”):

Figura 13.1: Campo de un line array — animación interactiva.

Dos lecciones saltan a la vista:

  • Recto = lanza. Con splay 0 el haz principal es un dardo intenso hacia una sola zona, con lóbulos laterales desperdiciados. Cubre una franja, no un recinto.
  • Las frecuencias altas beaman más. Sube la frecuencia y el haz se cierra: la misma apertura vale más longitudes de onda arriba, así que un line array dirige las frecuencias altas mucho más que las frecuencias bajas — por eso necesita guías de onda para no dejar las frecuencias altas en un hilo.

Llevando el factor de arreglo del capítulo 11 al límite continuo —una línea de longitud \(L\) radiando en fase y con amplitud uniforme—, la suma se vuelve una integral y la directividad en campo lejano es un seno cardinal:

\[ D(\theta) = \operatorname{sinc}\!\left(\frac{\pi L \sin\theta}{\lambda}\right) = \frac{\sin\!\big(\pi L \sin\theta/\lambda\big)}{\pi L \sin\theta/\lambda}. \]

donde:

  • \(D(\theta)\) — directividad en campo lejano (factor de arreglo normalizado, adimensional)
  • \(\theta\) — ángulo respecto al eje perpendicular a la línea [rad]
  • \(L\) — longitud de la fuente lineal [m]
  • \(\lambda\) — longitud de onda [m]

Sus primeros nulos caen en \(\sin\theta = \pm\lambda/L\), y el ancho de haz (por ejemplo a \(-6\) dB, donde \(|D|=1/2\)) es

\[ \Theta_{-6} \approx 2\,\arcsin\!\left(0{,}60\,\frac{\lambda}{L}\right) \;\xrightarrow[\lambda\ll L]{}\; \approx 69°\,\frac{\lambda}{L}. \]

donde:

  • \(\Theta_{-6}\) — ancho de haz vertical a −6 dB [°]
  • \(\lambda\) — longitud de onda [m]
  • \(L\) — longitud de la fuente lineal [m]

El ancho de cobertura vertical es inversamente proporcional a \(L/\lambda\): cada vez que sube la frecuencia, el haz se estrecha en la misma proporción. Esta es la cuantificación exacta de “las frecuencias altas beaman más”, y la razón de que la cobertura vertical de un line array la fije su longitud en longitudes de onda, no el número de cajas por sí solo:

Figura 13.2: Ancho de haz vertical (−6 dB) de una fuente lineal uniforme en función de la frecuencia, para tres longitudes de arreglo. A más longitud y más frecuencia, haz más estrecho: la cobertura de frecuencias altas de un line array la fija su apertura en longitudes de onda.

13.2 Anatomía de un line array moderno

Una caja de line array no es un altavoz cualquiera puesto de lado: es un sistema pensado para que, apiladas, muchas cajas se comporten como una sola fuente continua. Cada caja lleva frecuencias bajas (uno o dos conos de 12–15”), medios y frecuencias altas, pero la pieza crítica es la de frecuencias altas. Para que la fila de cajas radie un frente único y coherente hasta 16 kHz —donde \(\lambda\approx 2\) cm—, la salida de frecuencias altas de cada caja debe ser una cinta de frente casi plano que cubra casi toda su altura: es el papel de la guía de onda (el planar wave generator de Heil). Sin ella, unos pocos motores de compresión separados actuarían como fuentes espaciadas y generarían lóbulos de rejilla. Las cajas se enlazan con herrajes de splay que fijan el ángulo entre vecinas (típicamente de 0° a ~10–15°), y todo el arreglo se vuela desde un bumper, un problema mecánico y de seguridad tan serio como el acústico.

Para que \(N\) fuentes discretas radien un frente único —sin lóbulos de rejilla ni rizado en la cobertura—, Urban, Heil y Bauman formularon las condiciones WST sobre el frente que sale de cada caja [1], [2]. En esencia:

  1. Continuidad. La suma de las áreas radiantes activas debe cubrir \(\gtrsim 80\%\) de la superficie del arreglo: los huecos entre cajas actúan como fuentes espaciadas y generan aliasing espacial.
  2. Paso menor que media longitud de onda. El desfase entre bordes de fuentes adyacentes debe cumplir \(d\sin\theta < \lambda/2\) hasta la frecuencia más alta — el criterio de Nyquist espacial del capítulo 11, aquí llevado a 16 kHz.
  3. Frente plano o de curvatura controlada. El frente que emerge de cada guía de onda debe ser plano (arreglo recto) o de curvatura acotada (arreglo curvado) dentro de una tolerancia de fracción de \(\lambda\), para que las cajas sumen coherentes.

Cumplirlos a 16 kHz es exactamente lo que obliga a las guías de onda y a las salidas de frecuencias altas casi continuas de un line array moderno; es la diferencia entre una fila de cajas y un verdadero arreglo.

13.3 Curvar con criterio: el arreglo en J

Curvar bien no es doblar el arreglo de forma aproximada. La receta clásica es el arreglo en J:

  • La sección superior, casi recta (0–1° de splay), agrupa varias cajas en una apertura larga que dirige un haz estrecho y coherente a las filas lejanas (máximo acople, máximo alcance).
  • Hacia abajo, el splay crece progresivamente: cada caja se reparte un trozo de las filas cercanas, abriendo el abanico.

A esto se suma el sombreado de amplitud: bajar el nivel de las cajas de abajo (que apuntan cerca, donde sobra energía) para igualar el SPL de la primera a la última fila. El diseño real —cuántas cajas, qué ángulo entre cada par, qué nivel por zona— se resuelve hoy en los programas de predicción de los fabricantes.

Splay progresivo como optimización. La cobertura uniforme no se logra con splay constante, sino progresivo: poco ángulo arriba (apertura larga → filas lejanas) y mucho abajo (cajas repartidas → filas cercanas). Formalmente, es elegir los ángulos \(\{\theta_k\}\) —y a menudo los niveles \(\{g_k\}\) y retardos \(\{\tau_k\}\)— que minimizan la varianza espacial del SPL sobre el plano de audiencia,

\[ \min_{\{\theta_k,\,g_k\}} \ \operatorname{Var}_{\mathbf r\in\mathcal A}\big[L(\mathbf r)\big] \quad\text{sujeto a los criterios WST y al SPL objetivo,} \]

la versión espacial del principio de minimum variance [3]. Los programas de predicción de los fabricantes resuelven precisamente este problema.

Sombreado de amplitud (tapering). Bajar el nivel de ciertas cajas —normalmente las de los extremos— no solo iguala el SPL: baja los lóbulos laterales y suaviza la cobertura, exactamente como una ventana suaviza un FIR (capítulo 9). Es el mismo compromiso: una distribución de amplitud tipo Dolph-Chebyshev o Taylor cambia lóbulos laterales bajos por un lóbulo principal algo más ancho. El arreglo es, en el eje espacial, lo que el filtro FIR es en el temporal.

13.4 Por qué un line array “llega” tan lejos

Hay una segunda magia, invisible en el mapa pero decisiva: en su campo cercano, un arreglo suficientemente largo se comporta como una fuente lineal que radia una onda casi cilíndrica, la cual pierde solo 3 dB por duplicación de distancia, la mitad que una fuente puntual (6 dB). Por eso un line array largo mantiene el nivel a lo largo de una tirada enorme donde un altavoz convencional ya se habría apagado [1]. Cuánto dura ese campo cercano depende de la longitud del arreglo y —fuerte— de la frecuencia: cuanto más alta la frecuencia, más lejos llega la onda cilíndrica.

Una fuente puntual radia una onda esférica, \(p\propto 1/r\) (6 dB por duplicación). Una fuente lineal ideal e infinita radia una onda cilíndrica, \(p\propto 1/\sqrt{r}\) (3 dB por duplicación). Un arreglo real de longitud \(L\) se comporta como línea (cilíndrico) mientras las contribuciones de todos sus puntos llegan casi en fase, es decir dentro de la zona de Fresnel, y revierte a comportamiento puntual (esférico, 6 dB) más allá de una distancia de transición del orden de

\[ d_{ff} \sim \frac{L^2}{\lambda} \qquad(\text{el factor numérico depende de la definición y de la apertura}). \]

donde:

  • \(d_{ff}\) — distancia de transición campo cercano/lejano [m]
  • \(L\) — longitud del arreglo [m]
  • \(\lambda\) — longitud de onda [m]

Como \(d_{ff}\propto L^2 f\), arreglos más largos y frecuencias más altas mantienen la onda cilíndrica más lejos: por eso, contra la intuición, las frecuencias altas de un line array largo sobreviven a distancias donde ya cayeron las de un altavoz normal. La transición no es abrupta: hay una región donde la caída pasa gradualmente de 3 a 6 dB por duplicación.

13.5 Las frecuencias bajas no se dejan dirigir igual

Todo lo anterior vale para medios y frecuencias altas. En frecuencias bajas, \(\lambda\) es enorme (a 40 Hz, \(\lambda\approx 8{,}6\) m) frente a la apertura del arreglo, de modo que el line array no dirige las frecuencias bajas y se vuelve casi omnidireccional. Por eso las frecuencias bajas se despliegan como arreglos aparte —cardioides, end-fire, arcos—, gobernados por la misma teoría de suma pero con su propia geometría, tema que retomamos en la optimización de sistemas [3].

La directividad de baja frecuencia la fija la longitud total \(L\), no el número de cajas: el índice de directividad solo crece donde \(L\gtrsim\lambda\). A 40 Hz (\(\lambda\approx 8{,}6\) m) haría falta un arreglo larguísimo, así que en la práctica las frecuencias bajas se controlan con arreglos de subs de geometría propia —cardioide, end-fire, gradiente— que estudiamos como suma en el capítulo 3 y desplegamos en el 20.

13.6 Aire, distancia y sombreado de frecuencias altas

A las distancias de un line array, el aire deja de ser transparente: absorbe las frecuencias altas de forma creciente con la frecuencia y con la humedad (norma ISO 9613-1). A 10 kHz la atenuación extra puede ser de varios decibeles cada 10–20 m, de modo que la última fila recibe un sonido más apagado que la primera aunque el nivel sea el correcto. La solución es sombrear en frecuencia: dar más frecuencias altas (por EQ o por shading electrónico) a las cajas de arriba, las que apuntan lejos, para compensar lo que el aire se come por el camino.

Míralo y óyelo. Aleja la distancia (o pulsa Animar) y observa cómo el aire se lleva el brillo; sube la humedad y verás que el aire seco es el que más frecuencias altas se come:

Figura 13.3: Absorción del aire (ISO 9613-1) — animación interactiva.

La atenuación sobre una distancia \(d\) es \(\Delta L(f) = -\alpha(f)\,d\) decibeles, con el coeficiente de absorción \(\alpha(f)\) en dB/m dado por la norma ISO 9613-1 (relajación molecular del oxígeno y el nitrógeno):

\[ \alpha = 8{,}686\, f^2\left[ 1{,}84\times10^{-11}\!\left(\tfrac{p_a}{p_r}\right)^{-1}\!\!\left(\tfrac{T}{T_0}\right)^{1/2} + \left(\tfrac{T}{T_0}\right)^{-5/2}\!\!\left( 0{,}01275\,\frac{e^{-2239{,}1/T}}{f_{r,O}+f^2/f_{r,O}} + 0{,}1068\,\frac{e^{-3352{,}0/T}}{f_{r,N}+f^2/f_{r,N}} \right)\right], \]

donde:

  • \(\alpha\) — coeficiente de absorción del aire [dB/m]
  • \(f\) — frecuencia [Hz]
  • \(T\) — temperatura absoluta [K]
  • \(T_0 = 293{,}15\) K — temperatura de referencia [K]
  • \(p_a\) — presión atmosférica [Pa]
  • \(p_r\) — presión atmosférica de referencia [Pa] (\(p_a/p_r \approx 1\) a nivel del mar)
  • \(f_{r,O}\) — frecuencia de relajación del oxígeno [Hz]
  • \(f_{r,N}\) — frecuencia de relajación del nitrógeno [Hz]

Las dos frecuencias de relajación son

\[ f_{r,O} = \frac{p_a}{p_r}\left(24 + 4{,}04\times10^{4}\,h\,\frac{0{,}02+h}{0{,}391+h}\right), \] \[ f_{r,N} = \frac{p_a}{p_r}\left(\frac{T}{T_0}\right)^{-1/2}\!\left(9 + 280\,h\,e^{-4{,}170\left[(T/T_0)^{-1/3}-1\right]}\right), \]

donde:

  • \(h\) — concentración molar de vapor de agua [%]

y esa concentración molar de vapor de agua sale a su vez de la humedad relativa y de la presión de saturación:

\[ h = h_r\,\frac{p_{sat}/p_r}{p_a/p_r}, \qquad \log_{10}\frac{p_{sat}}{p_r} = -6{,}8346\left(\frac{T_{01}}{T}\right)^{1{,}261} + 4{,}6151, \quad T_{01}=273{,}16\ \text{K}. \]

donde:

  • \(h_r\) — humedad relativa [%]
  • \(p_{sat}\) — presión de saturación del vapor de agua [Pa]
  • \(p_a\) — presión atmosférica [Pa]
  • \(p_r\) — presión atmosférica de referencia [Pa]
  • \(T\) — temperatura absoluta [K]
  • \(T_{01} = 273{,}16\) K — temperatura del punto triple del agua [K]

Dos lecturas de la fórmula: (1) el factor \(f^2\) domina en la banda baja —la absorción crece con el cuadrado de la frecuencia—, por eso solo las frecuencias altas “sufren” el viaje; (2) la absorción depende fuertemente de la humedad, y de forma no intuitiva: en la banda de audio alta, el aire seco absorbe más que el húmedo. Es exactamente lo que calcula el widget de arriba.

13.7 Lo de hoy: arreglos dirigidos por DSP

El paso siguiente es prescindir del ángulo mecánico. En una columna dirigida por DSP cada transductor tiene su propia amplificación y su propio retardo/nivel, y el haz se orienta y se moldea electrónicamente, sin inclinar nada. Con retardos por elemento se apunta el haz a una zona; con sombreado de amplitud se controla su ancho y sus lóbulos laterales; e incluso se generan varios haces desde una sola columna. Es la herramienta reina en recintos muy reverberantes —iglesias, estaciones, aeropuertos— donde lo que se busca es inteligibilidad: mandar la voz a los bancos y no a las bóvedas. La misma física del factor de arreglo, ahora gobernada por software.

En una columna dirigida por DSP, aplicar a cada elemento un retardo \(\tau_k = k\,d\sin \theta_s/c\) orienta el lóbulo principal hacia \(\theta_s\) sin mover nada: es un arreglo en fase. Como la dirección depende de un tiempo y no de una fase fija, el apuntamiento correcto en toda la banda exige retardo real (true delay), no un desfase constante. Sumando a los retardos un sombreado de amplitud por elemento se moldea el ancho del haz y sus lóbulos, e incluso se sintetizan varios haces independientes desde una sola columna — la base de los sistemas de refuerzo de voz en espacios reverberantes.

13.8 Lecturas adicionales

  • La teoría fundacional de los arreglos curvos y los criterios WST: [1] y [2].
  • Directividad y radiación de fuentes lineales desde la acústica clásica: [4] y
  • Diseño práctico de cobertura, splay, sombreado y despliegue de subgraves: [3].

13.9 Ejercicios

  1. En el widget, pon splay 0 y sube la frecuencia de 400 Hz a 4 kHz: describe cómo cambia el ancho del haz y contrástalo con la fórmula \(\Theta_{-6}\approx 69°\,\lambda/L\).
  2. Estima la distancia de transición campo cercano/lejano \(d_{ff}\sim L^2/\lambda\) para un arreglo de \(L=4\) m a 1 kHz y a 8 kHz. ¿Por qué “llega más lejos” en frecuencias altas?
  3. Con el criterio de Nyquist espacial \(d\sin\theta<\lambda/2\), calcula el paso máximo \(d\) entre centros de fuente para evitar lóbulos de rejilla a 16 kHz con \(\pm 30°\) de cobertura. Comenta la implicación constructiva (por qué hacen falta guías de onda).
  4. Un arreglo de \(L=6\) m cubre a \(-6\) dB una audiencia que abarca 20° en vertical. ¿A partir de qué frecuencia el haz se vuelve más estrecho que esa cobertura, dejando de “llenar” la última fila en frecuencias altas? Relaciónalo con el sombreado de frecuencias altas por absorción del aire.