11 Directividad y arreglos: dirigir el sonido con interferencia
11.1 La idea, en una frase
Deja caer una piedra en un estanque en calma y verás anillos perfectos que se alejan del punto de impacto: la onda no elige dirección, se reparte por igual hacia todos lados. Un solo altavoz pequeño hace exactamente lo mismo con el aire — radia casi de manera omnidireccional porque, a bajas frecuencias, es demasiado pequeño comparado con la longitud de onda para “saber” hacia dónde empujar. Una sola fuente no tiene forma de concentrar su energía; el sonido escapa en todas direcciones y la mayor parte se pierde donde no hay nadie escuchando.
Ahora deja caer dos piedras a la vez, separadas un palmo. Donde las crestas de una onda coinciden con las crestas de la otra, el agua se levanta el doble; donde una cresta se encuentra con un valle, la superficie queda plana, quieta. Ese dibujo de refuerzos y cancelaciones no está en ninguna de las dos ondas por separado: emerge de su encuentro. El sonido obedece la misma ley. Si pones varias fuentes reproduciendo la misma señal, sus ondas suman (justo el fenómeno del capítulo de Suma): en unas direcciones se refuerzan formando un lóbulo y en otras se cancelan dejando nulos. El resultado es un patrón de directividad — el sonido deja de ir a todas partes y empieza a apuntar.
Aquí hay algo casi filosófico, y vale la pena detenerse en ello: no hemos añadido ninguna pieza nueva, ningún embudo ni ninguna bocina que “enfoque” el sonido. Cada fuente sigue radiando en todas direcciones como antes. Lo único que hicimos fue ponerlas a convivir en el espacio, y de esa convivencia nace una forma que ninguna poseía. La direccionalidad no es un objeto que se fabrique; es una relación — el patrón geométrico que dibujan varias ondas al interferir. Dirigir el sonido, en el fondo, no es empujarlo con más fuerza hacia un lado, sino organizar el silencio: decidir dónde las ondas se anulan para que la energía sobreviva solo donde queremos.
Esta es la física que sostiene los line arrays que cuelgan en cualquier concierto: concentran la energía en un haz vertical estrecho para llegar lejos y de forma uniforme, en vez de malgastarla contra el techo y el suelo [1], [2]. Y es también la misma idea, escrita en el lenguaje del espacio, que gobierna las antenas de radar, los transductores de un ecógrafo o los radiotelescopios: dondequiera que muchas fuentes coherentes trabajen juntas, la interferencia es la herramienta con la que se le da dirección a una onda.
Idea claveIdea clave
La directividad de un arreglo no es una propiedad de cada altavoz: emerge de la interferencia entre ellos. Con más fuentes el haz se estrecha; cambiando sus retardos relativos, el haz se puede orientar electrónicamente sin mover nada.
Explóralo. Cambia el número de fuentes, su separación y la frecuencia, y mueve el ángulo de escucha para oír cómo el nivel sube en los lóbulos y desaparece en los nulos:
Tres cosas que descubrirás experimentando:
- Más fuentes → haz más estrecho. Con N=1 el patrón es casi redondo; con N=12 es un dardo.
- El apuntamiento (\(\theta_0\)) inclina el lóbulo principal: así se “peina” un arreglo hacia el público sin tocarlo físicamente.
- Lóbulos de rejilla. Sube la frecuencia (o la separación) hasta que \(d \gtrsim \lambda\) y aparecen lóbulos falsos apuntando a otras direcciones: es el aliasing espacial, el primo geométrico del aliasing temporal del capítulo de muestreo.
11.2 De las antenas a los estadios
Esta física no nació en el audio, y su genealogía es un viaje curioso. El primer arreglo en fase lo construyó Karl Ferdinand Braun en 1905 —tres antenas alimentadas con retardos para dirigir la señal de radio, parte del trabajo que le valió el Nobel junto a Marconi—, y la Segunda Guerra Mundial convirtió esa idea en los arreglos de radar que barren el cielo sin mover una pieza. El audio la adoptó por la puerta modesta: las columnas de los años cincuenta —esas cajas altas y flacas de iglesias y estaciones de tren, estudiadas por Olson [3]— que apilaban conos en vertical para estrechar el haz y sacar la voz de la reverberación. Y tras décadas de clusters convencionales, la idea regresó por todo lo alto: en los años noventa Christian Heil y su equipo convirtieron la teoría del arreglo lineal en el line array moderno [2], y hoy no hay festival sin columnas de veinte cajas colgadas haciendo, a lo grande, lo mismo que las antenas de Braun: dirigir ondas organizando silencios.
11.3 El factor de arreglo y el ancho de haz
El campo de \(N\) fuentes idénticas es una suma de fasores que se cierra en el factor de arreglo
\[ |\mathrm{AF}(\psi)| = \left|\frac{\sin(N\psi/2)}{N\sin(\psi/2)}\right|, \qquad \psi = kd\sin\theta + \alpha, \quad k = \frac{2\pi}{\lambda}, \]
donde:
- \(\mathrm{AF}(\psi)\) — factor de arreglo (magnitud normalizada, adimensional)
- \(\psi\) — desfase entre fuentes consecutivas [rad]
- \(N\) — número de fuentes
- \(k\) — número de onda [rad/m]
- \(d\) — separación entre fuentes [m]
- \(\theta\) — ángulo de observación respecto a la normal del arreglo [rad]
- \(\alpha\) — desfase progresivo entre fuentes, o apuntamiento [rad]
- \(\lambda\) — longitud de onda [m]
El haz principal está en \(\psi=0\); su ancho escala como \(\Delta\theta \propto \lambda/(Nd)\), o sea lo fija la apertura total \(L=(N-1)d\) en longitudes de onda. Con más fuentes, el dardo se estrecha:
| Apertura \(L/\lambda\) | Ancho de haz (−6 dB) | Primer lóbulo lateral |
|---|---|---|
| 1 | ~51° | −13,3 dB |
| 2 | ~25° | −13,3 dB |
| 4 | ~13° | −13,3 dB |
| 8 | ~6° | −13,3 dB |
El lóbulo lateral de un arreglo uniforme está fijo en −13,3 dB por más fuentes que añadas. ¿Te suena ese número? Debería.
11.4 El shading: ventanas en el espacio
Aquí el libro se muerde la cola, y es de sus momentos más bonitos. Un arreglo uniforme —todas las fuentes al mismo nivel— es, matemáticamente, una ventana rectangular aplicada en el espacio: la apertura arranca y termina en seco. Y su primer lóbulo lateral está a −13 dB… exactamente el lóbulo lateral de la ventana rectangular del capítulo 9. No es coincidencia: es el mismo teorema en otra dimensión. Truncar una señal en el tiempo y truncar una apertura en el espacio producen el mismo derrame espectral — solo que aquí el “espectro” son direcciones.
La cura también viaja intacta: el shading consiste en bajar el nivel de las fuentes de los extremos —suavizar los bordes de la apertura—, que es aplicar una ventana de Hann (o Hamming, o la que quieras del capítulo 9) a las amplitudes. Los lóbulos laterales se hunden de −13 a −31 dB; el precio es el de siempre: el haz principal se ensancha:
Pruébalo en vivo: la casilla “sombra de amplitud (Hann)” del widget de arriba (Figura 11.1) aplica exactamente esto — mira la escalera de lóbulos laterales desaparecer, y el dardo engordar un poco. La historia le puso además un lazo elegante: en 1946 C. L. Dolph resolvió el compromiso óptimo —el haz más estrecho posible para un nivel de lóbulo dado— usando los polinomios de Chebyshev… los mismos del filtro Chebyshev del capítulo 2. Ventanas, filtros y arreglos: tres oficios distintos comprando en la misma tienda de matemáticas.
Importante¿Quieres ir más a fondo? — Derivación del factor de arreglo
Considera \(N\) fuentes idénticas equiespaciadas una distancia \(d\) sobre una línea, cada una con un desfase progresivo \(\alpha\) respecto a la anterior. En campo lejano, la diferencia de camino hacia un ángulo \(\theta\) entre fuentes consecutivas es \(d\sin\theta\), que aporta una fase \(kd\sin\theta\) con \(k = 2\pi/\lambda = \omega/c\). El campo total es la suma de fasores
\[ \mathrm{AF} = \sum_{n=0}^{N-1} e^{\,j n \psi}, \qquad \psi = kd\sin\theta + \alpha . \]
donde:
- \(\mathrm{AF}\) — factor de arreglo (suma de fasores)
- \(n\) — índice de la fuente
- \(N\) — número de fuentes
- \(\psi\) — desfase entre fuentes consecutivas [rad]
- \(k\) — número de onda [rad/m]
- \(d\) — separación entre fuentes [m]
- \(\theta\) — ángulo de observación respecto a la normal del arreglo [rad]
- \(\alpha\) — desfase progresivo entre fuentes, o apuntamiento [rad]
Es una serie geométrica; sumándola y tomando módulo se obtiene el factor de arreglo normalizado [4], [5]:
\[ |\mathrm{AF}(\psi)| = \left| \frac{\sin(N\psi/2)}{N\,\sin(\psi/2)} \right| . \]
Este es exactamente el resultado que anticipamos en el bloque avanzado del capítulo de Suma para dos fuentes (\(N=2\)), ahora generalizado a \(N\). El apuntamiento electrónico se consigue eligiendo \(\alpha = -kd\sin\theta_0\), que centra el lóbulo principal en \(\theta_0\) (lo que hace el control del widget).
Importante¿Quieres ir más a fondo? — Lóbulo principal, lóbulos laterales y ancho de haz
El máximo principal ocurre en \(\psi = 0\). Los nulos están en \(\psi = 2\pi m/N\) (\(m=1,\dots\)), y entre ellos quedan los lóbulos laterales, cuyo primero está a \(\approx -13{,}3\) dB para un arreglo uniforme. El ancho del lóbulo principal (entre nulos) escala como
\[ \Delta\theta \;\propto\; \frac{\lambda}{N d}, \]
donde:
- \(\Delta\theta\) — ancho del lóbulo principal [rad]
- \(\lambda\) — longitud de onda [m]
- \(N\) — número de fuentes
- \(d\) — separación entre fuentes [m]
es decir, la directividad la fija la apertura total \(L = (N-1)d\) en longitudes de onda: cuanto mayor es \(L/\lambda\), más estrecho el haz. Por eso un line array largo dirige las frecuencias altas mucho mejor que las frecuencias bajas — la misma apertura vale muchas más \(\lambda\) arriba.
Importante¿Quieres ir más a fondo? — Lóbulos de rejilla: el Nyquist espacial
Los máximos principales se repiten cada vez que \(\psi\) avanza \(2\pi\). Aparecen lóbulos de rejilla —copias no deseadas del haz— cuando existe otro ángulo real que satisface \(kd\sin\theta + \alpha = \pm 2\pi\). Para evitarlos en todo el barrido de apuntamiento hace falta
\[ \frac{d}{\lambda} < \frac{1}{1 + |\sin\theta_0|}, \]
donde:
- \(d\) — separación entre fuentes [m]
- \(\lambda\) — longitud de onda [m]
- \(\theta_0\) — ángulo de apuntamiento del lóbulo principal [rad]
que para radiación transversal (\(\theta_0=0\)) se reduce a \(d < \lambda\). Es la versión espacial del criterio de Nyquist: muestrear el espacio con fuentes demasiado separadas “pliega” energía hacia direcciones falsas, igual que muestrear el tiempo demasiado lento plegaba frecuencias.
11.5 Aliasing espacial: los lóbulos de rejilla
Muestrear el espacio con fuentes es como muestrear el tiempo con muestras: si las pones demasiado separadas, el patrón “pliega” energía hacia direcciones falsas —lóbulos de rejilla—. Aparecen cuando \(d \gtrsim \lambda\); la condición para evitarlos en radiación transversal es \(d < \lambda\), la versión espacial exacta de Nyquist:
La correspondencia con el capítulo de muestreo es exacta, término a término:
| Muestreo en el tiempo | Muestreo en el espacio (arreglo) |
|---|---|
| frecuencia de muestreo \(f_s\) | densidad de fuentes \(1/d\) |
| Nyquist \(f_s/2\) | condición \(d < \lambda\) |
| aliasing (frecuencia falsa) | lóbulos de rejilla (dirección falsa) |
| filtro anti-aliasing | fuentes muy juntas / guía de onda en frecuencias altas |
| resolución \(\Delta f = f_s/N\) | ancho de haz \(\Delta\theta \propto \lambda/(Nd)\) |
11.6 Por qué esto gobierna el diseño de sistemas
Todo el arte de cubrir un recinto —dónde apuntar las cajas, cuántas usar, cómo curvar un line array— es gestionar estos patrones para que cada oyente reciba un nivel y un timbre parecidos. Es la traducción espacial del principio de minimum variance de McCarthy: la suma entre elementos, controlada a propósito [6].
Importante¿Quieres ir más a fondo? — Campo cercano y arreglos curvos
La fórmula anterior supone campo lejano (ondas planas). Cerca del arreglo, a distancias \(r < L^2/\lambda\) aproximadamente, los frentes son curvos y el patrón depende de la distancia: es la región donde trabaja realmente un line array grande frente al público cercano. Modelar y “esculpir” ese frente —haciendo que un arreglo recto o curvo produzca una onda cilíndrica controlada— es el objeto de la Wavefront Sculpture Technology y de la teoría moderna de arreglos curvos [1], [2].
11.7 La rutina: verificar la cobertura
La directividad del papel se convierte en cobertura real con esta verificación. Dónde: en el eje de cada caja, en los bordes declarados de su cobertura, y en los cruces espaciales donde dos cajas se reparten al público. Cuándo: después de apuntar (ángulos físicos ya fijados) y antes de cualquier EQ — la EQ no arregla cobertura (capítulo 20). Cómo:
- Apunta con intención: el eje de cada caja al asiento más lejano de su zona (el que más nivel necesita), no al centro por costumbre — el centro ya recibe de todas partes.
- Mide en el eje: esa traza es la referencia de la zona.
- Mide el borde de cobertura que promete el fabricante (p. ej. ±45° para una caja de 90°): ahí debe caer ≈ −6 dB respecto al eje, con el mismo carácter tonal. Si cae mucho más —o el timbre se deshace— la caja promete de más o el apuntamiento quedó corto.
- Verifica el cruce espacial entre cajas vecinas: cada una debe llegar a −6 dB justo donde empieza la zona de la otra, y la suma de ambas debe devolver el nivel del eje — es el crossover del capítulo 10, escrito en el espacio.
- Camina y documenta: recorre los pasillos con el analizador o el RTA, y anota los ángulos finales — el siguiente montaje empieza donde terminó este.
Los errores clásicos: tapar un hueco de cobertura con nivel (castigas a los que ya estaban bien); el borde de cobertura contra una pared (los −6 dB del borde se reflejan y peinan la zona vecina — capítulo 3); y creer la ficha técnica sin medirla — los ángulos de cobertura se miden en cámara anecoica y tu recinto no lo es.
11.8 Lecturas adicionales
11.9 Ejercicios
- Con \(N=8\) y \(d=0{,}3\) m en el widget, sube la frecuencia hasta ver el primer lóbulo de rejilla. Comprueba que aparece cerca de \(d=\lambda\) y explícalo con el criterio espacial.
- Deduce \(|\mathrm{AF}| = |\sin(N\psi/2)/(N\sin(\psi/2))|\) sumando la serie geométrica \(\sum_{n=0}^{N-1} e^{jn\psi}\).
- Un line array debe cubrir hasta 10 kHz sin lóbulos de rejilla en radiación transversal. ¿Cuál es la separación máxima \(d\) entre fuentes? Comenta por qué esto empuja a usar guías de onda y fuentes muy juntas en las frecuencias altas.
- Activa la sombra de Hann en el widget con \(N=12\) y compara los lóbulos laterales y el ancho del haz con el caso uniforme. Verifica que los números coinciden con la tabla de ventanas del capítulo 9 y explica por qué deben coincidir.
- Una caja con cobertura vertical de 40° cuelga a 6 m de altura, apuntada al asiento más lejano a 25 m. ¿Entre qué distancias del suelo queda el público dentro de los bordes de −6 dB? (Trigonometría simple: eje + ±20°.)